ミラマーガーデンホテルのホームページに桃園空港からのアクセス情報があります。
　https://goo.gl/6GPKSJ

タクシーだとNTD1,000~1,200くらいだと思います。
ホテルのリムジンサービスを頼むと恐らくNTD1,200～1,500くらいだと思います。

宝石店があるようなので購入可能と思います。
またゴールドバーについては台湾銀行でも販売しているようです。
ネットでも沢山売っています。
専門の業者さんも台北市内に何件かあるようです。

通常ビジネス同行の場合は3,000~3,500円/時間頂いています。
ですので、8時間では24,000～28,000円、4時間であれば12,000～14,000円になります。
ただし予算等あればご相談には応じます。
終了の時間については多少過ぎてしまっても構いません。

ただ、既に別のアテンド依頼が6/5-6に入ってしまっているので、6/7-8であれば対応可能です。
詳細については個別の相談/依頼として申請して下さい。
相談のみであれば料金は発生しませんので御安心下さい。

MRT民権西路から桃園空港へ行くバスは「1841」になります。
ただ、数字から漢字の名称に路線バスの名称が変わってきているのでtomanさんが来られるときにこの番号のままかは分かりません。
Google Map で普通にバスの乗り換えも案内してくれますのでそちらを参考にされると良いと思います。

大体1時間ちょっとで桃園空港に着きますが、道路状況によっては変動するので余裕をもって行動されることをお勧めします。

猫空は台北市内中心部から南東、その他のご希望の場所は北東になります。
効率的に回るなら猫空は別の日にしたほうが良いと思いますが、距離的には市内からその他の場所ほどは遠く無いので回ろうと思えば回れると思います。
夕方九份に居たいとのことですので以下の2つが考えられると思います。
＜一日で全部回るコース＞
　台北市内 -> 猫空 -> 十份 -> 金瓜石 -> 九份 -> 台北市内
＜二日に分けるて回るコース＞
　一日目：台北市内 -> 十份 -> 金瓜石 -> 九份 (-> 基隆夜市) -> 台北市内
　二日目：台北市内 -> 猫空 (-> 動物園) -> 台北市内

十份の滝は駐車場から往復で30分くらいかかるので、滝を見る時間をいれると1時間程度の行程になります。
その他の場所も基本的には徒歩が多いので御注意下さい。

効率的に回るなら車をチャーターすることをお勧めしますが、公共交通機関を利用する場合は電車/バスの乗り継ぎ等事前にある程度調べてから行動しないと待ち時間が多くなってしまうと思います。

ご参考になれば幸いです。

台湾のコンセントはグランド端子付きの三端子のものが多いですが、二端子として使うなら日本のものと全く同じです。
電圧が110Vなので基本的にはほとんどの電気機器はそのまま使えますが、ものによっては動作しないものもあるかもしれません。

新幹線の商務車には乗客用のコンセントがあります。
台湾鉄道のほうは特急列車のトイレには使用OKなコンセントがあるようですが、それ以外の車両にあるコンセントは使うと違法のようです。

台湾政府として用意している義援金の受付窓口
　https://www.mofa.gov.tw/en/cp.aspx?n=9AA4570E55205A92
日台交流協会（日本大使館相当）の関連記事
　https://www.koryu.or.jp/news/?ItemId=170&dispmid=4259

日本国内に複数ある「台北駐日経済文化代表処（台湾大使館相当）」でも受け付けてくれているようです。
　https://www.roc-taiwan.org/jp_ja/index.html

花蓮政府も口座を準備しているようですが、現地で直接手渡しできるようなところに関する情報は見つけられませんでした。

自分は38歳で台湾に移住し、そこから日中は会社で仕事をしながら、週に2回ほど塾（補習班）に通って勉強をしました。
そして、覚えた単語などは間違いを恐れずとにかく使うようにしていました。間違っていたら周りの台湾人の友人が修正してくれるので。
日本に居て座学だけだとなかなか上達しないかもしれないですね・・・。
彼が台湾の方なら、出来るだけ彼との会話を北京語にしてもらう等で使う機会を増やした方が良いかもしれません。
また、最近は台湾のドラマを日本でやっているようなので、それを見て耳を慣らすというのもありかもしれません。

ご参考になれば。

仕事の関係で何度かお客さんを連れて訪問したことがありますが、日本語が通じるところはあまり無かったように思います。

少し御依頼と違うかもしれませんが、ミシンの先生をしている知り合いがいるので、例えば先生と一緒に永楽市場に行って布を選んで仕立てを依頼し、併せて持ち込んだ布でのカバン作成を依頼する、ということは出来るかもしれません。