1.一軒家でフラットシェアなどで、あればほとんどの家は外で干していると思います。アパートでもベランダで洗濯干しているのみたことがあります。乾燥機もおいてあるところもありますが、もし一人暮らしするのであれば、乾燥機は結構電気代かかりますので、注意して使ったほうがいいですよ。

2.公衆トイレにはゴミ箱。。なかったと思います。もちろん、生理用品を捨てるゴミ箱はあったと思います。もしかして、公衆トイレによるとは思いますが、今まで使った公衆トイレにゴミ箱はなかったような。手を拭くペーパータオルがおいてあるような公衆トイレであればそのペーパータオルをすてるゴミ箱はそなえつけてあります。

3.水道水、飲めます。日本と一緒で普通に家で蛇口をひねった水飲めますよ。洗顔、シャワー、洗濯日本と同じように使えます。場所によって美味しい水のところとか美味しくない水のところとかもありますが、基本的に飲んで問題ありません。水道水が口に合わない場合は、ミネラルウォーターは色々スーパーで売っています。

1.経済的にはシェア、（フラット）が一番安くつくと思います。場所にもよりますが、オークランドでの現在の相場は1週間200ドル－300ドルという感じです。ホームステイは1週間当たり350ドルくらいが相場でしょうか。一人暮らしになると、家具つきの家は少ないので全部自分でそろえないといけなくなることがおおくなるので、最初にお金かかると思います。英語に慣れるという意味では最初語学学校に通う1ヶ月くらいから3ヶ月くらいホームステイをして、その後はフラットに移るというのがいいかもしれませんね。（現地の人たちとフラットするのもいいと思います。）もしくは自分が家を借りて、気の会う人をフラットに入れる方法もありです。（お金最初にかかりますが。）
2.こちらで銀行口座あけたほうが何かと便利だと思います。こちらの銀行ではデビットカードだけど、クレジットカード機能付のバンクカードなどあります。これは例えばＶＩＳＡとかクレジットカード決済ですが、自分の銀行口座から引き落としになるので、口座に入っているお金以上に使わないので便利です。あと、クレジットカードは使わなくても持っていたほうが便利ですよ。時々身分証明書として、パスポートと免許証のほかにクレジットカードとか見せてくださいというシチュエーションがたまーに、あります。（すみません、どこでだったか覚えてないですが。）クレジットカードは身分証明書に使うこともできますよ。
3.海外旅行保険については私も始めてこちらに来た時には日本からはいってきたので、詳しい情報しりません。ごめんなさい。どなたか詳しい方答えてあげてください。
4．ヘアカラーは一杯売っていますが、日本のもののほうが質がいいような。日本人のやっている美容室もオークランドは結構あるので、そういうところでヘアカラーしたら問題ないでしょうが、高いです。あと、日本のヘアカラーも売っているところはあります。(値段は日本の倍くらいしますが。）私はいつも現地調達のヘアカラー（スーパーマーケットでうっているやつ）を使っています。安いのは＄６とかからありますが、それはちょっと怖いので、15ドル前後のやつ使かっています。（私は今のところかぶれとはありません。）

質問がとても漠然としていて、何について聞きたいのか具体的に書いていただかないと、他の方も答えるのが難しいかと思います。
"どのように"というのはどこで購入しているのか?とかインターネットのことについて聞きたいのかとか具体的に質問されたらより詳しい情報がもらえると思いますよ。

オークランド空港からＣｉｔｙまでは　Sky Bus　を使っていくのが安いと思います。Ｃｉｔｙについたら、auckland transport journey planner というのをググルと、ウェブサイトがでてきますので、そこでＣｉｔｙ　から　行きたい場所までの住所と日にち時間などをいれるとバスのルートと料金などでてきます。もし今後オークランドでバスを一杯使う予定があれば　ホップカードというのを買ったほうがお得です。現金でバスにのることもできますが、ホップカードを使うよりかなり割高になります。

オークランド市内（ＣＢD) であれば、タクシースタンドがいくつかあります。（あとホテル前とかだったらよくタクシーとまっています。）
オークランド博物館近くにはタクシー止まっていなかったように思います。

マオリショーは最初の時間が11時で約30分ほどあります。
そこから、タクシーをひろえるシティまでの移動はバス、徒歩、Ｕｂａｒなどになると思います。（Ｕｂａｒが見つけられたら空港まで送ってもらえると思います）
Ｃｉｔｙから空港までは道がすいている場合は30－40分でつきます。
渋滞、事故など有った場合は1時間から1時間半かかることもあるので、時間に余裕をもって移動されたほうがいいですよ。（あと、雨の日も渋滞すごいです。）13時40分の飛行機とのことですが、1時間前についておきたいですよね。

私談ですが、以前余裕をみて、家を出たにもかかわらず、空港まで90分かかったことがあります。おまけに空港のカウンターで不都合がありカウンターで40分から50分ほど時間をとられ、ちゃんと搭乗できるか、はらはらした経験があります。

ですので、ショーが終わってすぐにタクシーが捕まえれるのであれば問題ないと思いますが、そうでない場合はかなり微妙な感じだと思います。

個人で見学できないことはないと思いますが、学校のやりとりをご自分でされないといけないと思います。（もしくは通訳を雇うなど。私は平日仕事しているのでお手伝いできません。）ただ、そうなると、どこの学校を見に行っていいかなどわからないので、やはり現地のエージェントを使われることをおすすめします。私が知っているAmicale nz education さんは小、中、高学校留学、短期やオリジナル留学をされていて、決め細やかなサポートをされています。留学アミカル エドュケーション　でグーグルするとでてくると思います。スポーツ（特にラグビー）留学などに強いところですが、現地のエージェントで、オリジナルの留学などのサポートもしているから安心です。
簡単な小学校の様子ですが、日本の小学校より、自主性を求められます。日本の学校だと先生が話して、生徒が聞くばかりの授業ですが、こちらの学校は子供たちがきちんと意見を言うことが大事です。クラブ活動も小学校からありますが、先生が教えるというより、親達がサポートする形でスポーツすることが多いです。
オークランドでの生活ですが、長期で留学を考えるなら家賃が結構高いです。こちらでどのあたりを拠点に考えられているかわかりませんが、2ＤＫのような物件で家賃が週に４００ドル前後します。（こちらは週で支払うことが多いです。）
特に短い期間で色々見たいのであれば、現地エージェント使われるほうが効率よく色々調べれると思いますよ。

確かに日差しが強いので液晶画面でみにくいことはありますが、液晶画面の上に手をかざして影をつくってあげれば問題ないと思いますよ。

語学留学で、おすすめなのが、やはりＣｉｔｙとかより、ちょっと離れた街です。

しかも1月という、こちらの夏の期間にこられるのであれば、なおさらビーチ沿いの町のほうが街中より絶対おすすめです。

North Shore の　Browns Bay　エリアは特にお勧めです！　と、いうのも、街がコンパクトで必要なものがすべてそろっているからです。（歩ける範囲に、スーパー、カフェ、レストラン、バス停、銀行などなど色々あります。）もちろん、語学学校もあります。そして、治安もいいです。

あと、お勧めの滞在方法はＡｉｒ　Ｂ　＆　Ｂです。場所によっては、一人で家貸切、または、ルームシェアとか色々あるので、グーグルでみてください。（すみません、ウェブサイトをはると規約に違反するのではれません。）

ホームステイなども一緒に考えられているのであればこちらの現地のエージェントを使われたらどうでしょうか？お勧めなのは　amicale NZ education です。ここは個人にあった留学をオリジナルでつくってくれるところなので、安心です。（一度問い合わせされるといいと思います。見積もりは無料なので。しかもオフィスがBrowns Bay なので、何かあったら、相談しやすいですよ。）

もし、英語多少自信があるのであれば、Browns Bay North Shore , Unique English School出検索するとUnique という英語学校のウェブサイトに行きつけると思います。
そして、学校の申し込みは右上の日本語を選択すると日本でも申し込みできたと思います。多分学校でもホームステイは紹介してくれると思います。

ちなみにですが、私はＢｒｏｗｎｓ　Ｂａｙの近くに住んでいるので、もしかして一緒にお茶とかできるかもしれませんね！（平日は仕事してますが。笑）

とにかく楽しい語学留学になるといいですね。他に聞きたいことがあったら、また質問してください。夏のニュージーランドはいいですよ。

レンタカーをするのであれば、いけると思います。南島中心で回られるのなら、ダニーデンやアロータウンArrowtownもお勧めですよ。
楽しい旅行になるといいですね。