オークランド空港からＣｉｔｙまでは　Sky Bus　を使っていくのが安いと思います。Ｃｉｔｙについたら、auckland transport journey planner というのをググルと、ウェブサイトがでてきますので、そこでＣｉｔｙ　から　行きたい場所までの住所と日にち時間などをいれるとバスのルートと料金などでてきます。もし今後オークランドでバスを一杯使う予定があれば　ホップカードというのを買ったほうがお得です。現金でバスにのることもできますが、ホップカードを使うよりかなり割高になります。

オークランド市内（ＣＢD) であれば、タクシースタンドがいくつかあります。（あとホテル前とかだったらよくタクシーとまっています。）
オークランド博物館近くにはタクシー止まっていなかったように思います。

マオリショーは最初の時間が11時で約30分ほどあります。
そこから、タクシーをひろえるシティまでの移動はバス、徒歩、Ｕｂａｒなどになると思います。（Ｕｂａｒが見つけられたら空港まで送ってもらえると思います）
Ｃｉｔｙから空港までは道がすいている場合は30－40分でつきます。
渋滞、事故など有った場合は1時間から1時間半かかることもあるので、時間に余裕をもって移動されたほうがいいですよ。（あと、雨の日も渋滞すごいです。）13時40分の飛行機とのことですが、1時間前についておきたいですよね。

私談ですが、以前余裕をみて、家を出たにもかかわらず、空港まで90分かかったことがあります。おまけに空港のカウンターで不都合がありカウンターで40分から50分ほど時間をとられ、ちゃんと搭乗できるか、はらはらした経験があります。

ですので、ショーが終わってすぐにタクシーが捕まえれるのであれば問題ないと思いますが、そうでない場合はかなり微妙な感じだと思います。

個人で見学できないことはないと思いますが、学校のやりとりをご自分でされないといけないと思います。（もしくは通訳を雇うなど。私は平日仕事しているのでお手伝いできません。）ただ、そうなると、どこの学校を見に行っていいかなどわからないので、やはり現地のエージェントを使われることをおすすめします。私が知っているAmicale nz education さんは小、中、高学校留学、短期やオリジナル留学をされていて、決め細やかなサポートをされています。留学アミカル エドュケーション　でグーグルするとでてくると思います。スポーツ（特にラグビー）留学などに強いところですが、現地のエージェントで、オリジナルの留学などのサポートもしているから安心です。
簡単な小学校の様子ですが、日本の小学校より、自主性を求められます。日本の学校だと先生が話して、生徒が聞くばかりの授業ですが、こちらの学校は子供たちがきちんと意見を言うことが大事です。クラブ活動も小学校からありますが、先生が教えるというより、親達がサポートする形でスポーツすることが多いです。
オークランドでの生活ですが、長期で留学を考えるなら家賃が結構高いです。こちらでどのあたりを拠点に考えられているかわかりませんが、2ＤＫのような物件で家賃が週に４００ドル前後します。（こちらは週で支払うことが多いです。）
特に短い期間で色々見たいのであれば、現地エージェント使われるほうが効率よく色々調べれると思いますよ。

確かに日差しが強いので液晶画面でみにくいことはありますが、液晶画面の上に手をかざして影をつくってあげれば問題ないと思いますよ。

語学留学で、おすすめなのが、やはりＣｉｔｙとかより、ちょっと離れた街です。

しかも1月という、こちらの夏の期間にこられるのであれば、なおさらビーチ沿いの町のほうが街中より絶対おすすめです。

North Shore の　Browns Bay　エリアは特にお勧めです！　と、いうのも、街がコンパクトで必要なものがすべてそろっているからです。（歩ける範囲に、スーパー、カフェ、レストラン、バス停、銀行などなど色々あります。）もちろん、語学学校もあります。そして、治安もいいです。

あと、お勧めの滞在方法はＡｉｒ　Ｂ　＆　Ｂです。場所によっては、一人で家貸切、または、ルームシェアとか色々あるので、グーグルでみてください。（すみません、ウェブサイトをはると規約に違反するのではれません。）

ホームステイなども一緒に考えられているのであればこちらの現地のエージェントを使われたらどうでしょうか？お勧めなのは　amicale NZ education です。ここは個人にあった留学をオリジナルでつくってくれるところなので、安心です。（一度問い合わせされるといいと思います。見積もりは無料なので。しかもオフィスがBrowns Bay なので、何かあったら、相談しやすいですよ。）

もし、英語多少自信があるのであれば、Browns Bay North Shore , Unique English School出検索するとUnique という英語学校のウェブサイトに行きつけると思います。
そして、学校の申し込みは右上の日本語を選択すると日本でも申し込みできたと思います。多分学校でもホームステイは紹介してくれると思います。

ちなみにですが、私はＢｒｏｗｎｓ　Ｂａｙの近くに住んでいるので、もしかして一緒にお茶とかできるかもしれませんね！（平日は仕事してますが。笑）

とにかく楽しい語学留学になるといいですね。他に聞きたいことがあったら、また質問してください。夏のニュージーランドはいいですよ。

レンタカーをするのであれば、いけると思います。南島中心で回られるのなら、ダニーデンやアロータウンArrowtownもお勧めですよ。
楽しい旅行になるといいですね。

オークランドの9月頃の日が落ちる時間は6時から6時半くらいの間になります。ホテルまでタクシー、バス、などで帰られるのであれば10時とか11時とかでも問題ないと思います。ふつうのお店は6時くらいに閉まるところがおおいです。お土産さんであれば8時とか9時とかまで開いているところもあります。市内にはQueens Arcadeがありますが、5時半ころには閉まります。
お勧めのお食事はThe Occidental Belgian Beer Cafe　のムール貝です。ベルギービールの飲めるお店です。市内にあります。お勧めのファーストフードはやはりパイですね！ベーカリーなどで5ドル前後でステーキ&チーズパイだの、ミンチパイだの、色々種類があります。美味しいですよ。
移動は市内からであれば、タクシーはつかまえやすいです。あと、普通にＵｂｅｒ使えます。
楽しい旅行になるといいですね。

ワイナリーはオークランドから近くとなると、クメウかワイヘキアイランドになると思います。クメウまでは市内から車で20-30分でいけます。バスなどの公共機関は不便ですので、レンタカーかツアーに参加と言う形になると思います。ワイヘキへはフェリーで行くことになります。こちらも現地でツアー申し込みでもいいかと思います。ワイナリーにいったら、だいたい試飲できますので、気に入ったものを購入されるといいと思います。こちらのスーパーマーケットでも手軽で美味しいワインは一杯ありますよ。Montana の Sauvignon Blanc や　Lindauer　の Sparkling Sauvignon Blanc　などだったら１０ドル前後で購入できるのでおすすめです。
キウイフルーツのワインはＯＫギフトショップで購入できます。もしかしたら、普通のリカーショップ（特にオークランド市内にあるようなリカーショップ）だったら、キウィフルーツワイン置いているところがあるかもしれません。