ご家族で旅行とのことですが、小さいキャンパーではなくて、ある程度大きいものの方がいいような気もします。(トイレ、シャワー、キッチン付）キャンパーはレンタル料金が高いことと、それプラスキャンプ場の滞在費もかかるので、やはりどうしてもコストがかかります。(ニュージーランドには、オーストラリアのように、無料で滞在できるスポットはほとんどないです。）安く滞在できる、DOC campsites というのもありますが、電気もほっとシャワーもないです。2週間程度であればレンタカーをして宿泊はAir B & B などを使ったほうが、安くあちこち回れるし快適ではないかと思います。
お勧めのレンタカー会社は特にないですが、もしキャンパーを借りるのであれば、最低限借りる日数とか決まっているので、借りられるときに必ず確認してください。また水を補給する場所やトイレ、シャワー使った水を捨てる場所、なども決まっているので、そういう情報を提供するアプリなどスマホに入れておくと便利です。
オーストラリアで家族でキャンパーで数ヶ月旅行しましたが、長期間であれば、キャンパー、短期間であればレンタカーのほうが小回りが利いていいと思います。(私達も街中での駐車には苦労しました。）

こちらの夏休みの間はSchool holiday program というのがあって、夏休みの間はそういうところで、だいたい朝の7時から夕方の6時まで(場所によって異なります）あずかってくれます。　値段はその日のないようによって異なります。1月の夏やすみの間はそういうところに預けることができると思いますが、学校が始まった2月からはBefore and After School　しかあずかってくれませんので、その間お子さんはどこか別のところで見てもらわないといけなくなると思います。もしくは学校に通わせるか。（ちなみに公立の学校でも1学期とか受け付けてくれるところもあると思います。）あと、こちらでは14歳以下の子供を一人で家に残しておくのは違法になるので、こちらで家を借りて、お子さんを一人で置いていくことはできません。通報されたら、前科ありになるのでお気をつけください。とりあえず、School Holiday program, after school service などでグーグルすると色々情報がでてきますので、一度みてみてください。

オークランドにはいくつかスーパーマーケットがありますが、大手なら、countdown と　New
World というところです。お店の場所などによって営業時間が違うので、(クイーンズタウンやオークランドでどこにたいざいされるかわからないので）グーグルしてから近くのスーパーをさがしてください。営業時間はウェブサイトで確認できますよ。ちなみにですが、うちの近所のNew World は朝の8時から夜10時までです。休日はクリスマスは休みですね。そのほかの祝日は店によって営業時間がかわることもあります。

レンタカーなどで、道が混んでなかったら1時間半から2時間でつくと思います。9時にオークランド到着で、空港外にでて、レンタカーをかりるまでに多分1時間近くかかるとして、10時から10時半に空港出発として12時過ぎくらいにマタカナ到着という感じでしょうか？
オーガニックフードのお店はオークランドにいくつかありますが、グーグルするとでてきますよ。なので、宿泊先から近いところを選ばれたらいい課と思います。

8日間で南北両方はかなりきついと思います。また、何をしたいかによって、行き先も変わると思うのですが、アウトドアで、自然を楽しみたいのなら、8日間がっつり、南島をまわったほうが楽しいかと思います。車など運転されるのであれば、ダニーデンにはいって、アロータウン、テカポ、ワナカ、クライストチャーチに北上してクライストチャーチから帰国という感じでしょうか。
北島でオークランドに到着するのであれば市内からワイヘキアイランドに日帰りして1泊。その後は北上して、90マイルビーチとか、いるかを見るツアーにさんかするとかカウリの巨木をみにいくとか。あとオークランドから南下してホビット村に行ったり、ワイトモケーブにいったりでしょうか。
夏の時期は宿泊施設が混むので、前もって予約されてからいかれることをおすすめします。
あと100 pure new zealand　というサイトで色々なモデルコースが組んであるのでそれをみてさんこうにされたらどうでしょうか？ウェブサイトをのせることができないので、グーグルでさがしてみてください。
楽しい旅行になるといいですね。

一番お勧めなのは、アミカルエデュケーションニュージーランドです。グーグルするとAmicale NZ Education - Facebookのリンクがでてきます。この会社はラグビーにはとても強い留学の会社です。web のリンクをはることはできないので、これでグーグルして調べてください。今まで何人ものラグビー留学の実績もありますので、信用できます。
ぜひ、参考にしてください。

オークランドシティからカウリミュージアムにいく途中にWellsfordという街があります。そこにはマクドナルト、サブウェィ、カフェなどもあるのでティクアウェイできますよ。
でも、もしオークランド市内に宿泊であれば、市内のカフェでなにかかっておいてもいいかもですね。
楽しい旅行になりますように。