個人的意見ですが、 World Square のほうがお勧めです。
夜はちょっと危ないので気を引き締めて街歩きをしてほしいと思いますが
人はいっぱい歩いているし、お店は遅くまで開いています。

World Square は確かに美味しいものが食べられます。
Wynyard のそばは　そうでもないです。　閑散としたオフィス街です。

空港の電車の駅（？）　か、セブンイレブンなどで　　Opal Card という　Suica みたいのを買ってしまうと便利です。　そこに20ドルとか入れておいて、プリペイドで使う。　電車・バス・フェリーは大体それで　Tap On Tap Off　できます。　（ちゃんとTapOff しないと罰金が高いので注意！）

市内から Circular Quay までバスはバンバン走っていますので、Opal Card　で乗るといいと思います。
また Light Rail というのがあって、それでも　中華街の方とか移動が楽です。　

カジノには　市内から無料シャトルバスが走っていますよ。
移動は　不便じゃないと思いますよ。　モノレールは 無用の長物だったので、 今は　世界の流れに乗り　Light Rail を拡張している最中です。

Sydney GCの移動はお子さんがいると　大変かも。
もし飛行機が欠航になったり遅れたりすると もう楽しいはずの旅行も 別のものになってしまいます。

ここは　リスクをとらずに　Sydney　6日間でもいいかもしれませんね。

City に泊まると、Manly も Bondi も行けて便利ではあります。　Sydney に４泊、
足を少し伸ばして Kiama というところに行き、そこで2泊くらいするのも 楽しいと思いますよ。　

個人がやっている BnB みたいなところに、ファミリーが泊まれる大きなお部屋があります。
ただ、３泊以上とか１週間以上泊まってください、みたいな制限付きのところもあるので、少しリサーチが必要と思われます。　　Kiama　はシドニーから遠足気分で長距離電車に乗っていきます。　途中の風景もきれいですし、Kiama そのものも 美しいところです。　

私は　使用経験ありませんが、自然派化粧品ブランドには　Sukin などがあります。

http://sukinorganics.com/　

TownHall　Arcade や　92 Pitt Street　の Pharmacy などで購入できます。

Aesop や Nields yard は もう日本に入っていると思いますし、
Red Earth　も もう20年とかある化粧品ブランドだと思います。

https://www.brothoflife.com.au/pages/store-locator　

で 検索ウィンドウに　Sydney とタイプし Enter　を押すだけで、　どこで売っているか分かりますよ。

Broth of life　でググったら　一発で出てきましたよ。

https://www.brothoflife.com.au/pages/store-locator

Broth は チキンスープストック みたいなものです。　その 牛バージョン。

日本の和洋折衷型のお菓子は喜ばれます。
秋葉原などで買えるスマホのアクセサリーなども、日本にしかないかわいい物・変わった物があるかと思います。　そういう珍しい物も、「日本から来た人にもらったのよ！」などと自慢できていいかもしれません。

気温が下がる秋口なら　チョコレートもいいかもしれません。
日本にしか売ってない キットカットとか。　味好み、のような色んな種類が入ったおせんべいも 気に入られます。

化粧小物も、たとえば 日本のベースコントロールカラーとか、化粧崩れ防止クリームとかは 本当に高性能だと思います。　CanMake とか。

お酒好きなら Japanese Whiskey もいいかも。
Suntory の梅酒とかも 3000円台で買えると思います。（重たいですが）

視点を変えて、100円ショップなどに売っているもので、その方に合いそうな物をたくさん買い、それを 箱にきれいにレイアウトしてアソートで渡すのもいいかもしれません。　日本のグッズは至れり尽くせりなので、気に入ってもらえるものが　いくつかは入っている可能性がありますから。　

ちなみに、シドニーにも　Daiso はあることはあります。

Lanoperal と Sydney　

で検索するだけで一発で出てきましたよ。

https://www.google.co.jp/search?q=Sukin+Sydney&ie=utf-8&oe=utf-8&client=firefox-b&gfe_rd=cr&ei=ifP4V5KHKeXZ8AfRsbvwCA#q=Lanopearl+Sydney　

ちなみに ラノリンは、アレルギー反応が出る人がいるので注意が必要です。

質問を見てググったら　一発で出てきましたよ。

http://sukinorganics.com/apps/store-locator　

で 検索キーワードに　Sydney と入れるだけです。

TownHall　Arcade や 92Pitt Street のPharmacy にもあるようです。

日本の和洋折衷型のお菓子は喜ばれます。
秋葉原などで買えるスマホのアクセサリーなども、日本にしかないかわいい物・変わった物があるかと思います。　そういう珍しい物も、「日本から来た人にもらったのよ！」などと自慢できていいかもしれません。

気温が下がる秋口なら　チョコレートもいいかもしれません。
日本にしか売ってない キットカットとか。　味好み、のような色んな種類が入ったおせんべいも 気に入られます。

化粧小物も、たとえば 日本のベースコントロールカラーとか、化粧崩れ防止クリームとかは 本当に高性能だと思います。　CanMake とか。

お酒好きなら Japanese Whiskey もいいかも。
Suntory の梅酒とかも 3000円台で買えると思います。（重たいですが）

視点を変えて、100円ショップなどに売っているもので、その方に合いそうな物をたくさん買い、それを 箱にきれいにレイアウトしてアソートで渡すのもいいかもしれません。　日本のグッズは至れり尽くせりなので、気に入ってもらえるものが　いくつかは入っている可能性がありますから。　

ちなみに、シドニーにも　Daiso はあることはあります。

Qantas のLCC 子会社である JetStar が比較的安いです。
が、荷物の重量制限などに厳しかったり、食事・エンターテイメント・ブランケットなどはすべて有料となるので予約時にちゃんとしておかないと、当日、Extra Chargeが あれこれ掛かることになるので注意が必要です。　SkyTicket などのアプリから Specific な日にちの格安航空券を探すのもいいと思います。その際、東京シドニーは成田発と羽田発の便があるので検索時、注意が必要です。　

旅行上級者なら、一旦、アジアに飛んで、現地からシドニー行のフライトを買う、といったことも考えられます。