ネットで販売しているところはありますが、販売店舗情報はどこにも無いですね・・・。
FBページで質問している人もいますが、全て個別メッセージで回答しているようで情報がありません。
いまFBページで私も問い合わせしてみたので、回答有ったらお知らせします。

台湾にはいまのところ以下の3店舗があるそうです。

[LINE FRIENDS CAFE & STORE台北信義新光三越A11店]
店鋪地點： 台北市信義區松壽路11號 新光三越A11 1F
營業時間： 11:00～21:30 例假日前一天 11:00～22:00

[LINE FRIENDS 台北車站店]
店鋪地點： 微風台北車站1F大廳(近北2門)
營業時間： 週一～週日 10:00～22:00

[LINE FRIENDS 台中新光三越店]
店鋪地點： 台中市西屯區台灣大道三段301號 新光三越台中中港店B1
營業時間： 11:00~22:00 周末及例假日 10:30~22:00

桃園空港からのタクシーは台北市内は一律の料金ですが、流石に空港から烏來に直接行ったことは無いので正確な金額は分かりませんが、NTD1,500くらいではないでしょうか？

台北近郊の温泉では北投、陽明山(紗帽谷)あたりがメジャーなところです。北投には加賀屋さんもあります。
ただ、烏來と陽明山(紗帽谷)は交通の便が北投ほど良くないです。
公共浴場以外はほとんどのところが日本式に裸で入浴だと思います。
私は烏來が一番好きです。

対応可能です。
詳細については個別の相談/依頼として申請して下さい。
（オープンな質問でのやり取りは2回までの返信しか出来ません）
相談のみであれば料金は発生しませんので御安心下さい。

日本酒は日本料理店、お寿司屋さん、居酒屋さんなど色々なところで飲めるので広く流通はしています。
先日も台湾の日本酒事情に関するリサーチを請け負ったため、個人的な知り合いである飲食店の方や輸入代理店の方たちに色々とヒアリングをしたりしました。リサーチのレポートをお見せする訳にはいきませんが、それらの日本の方が経営または取り仕切っていらっしゃるお店や日本酒を輸入販売している台湾人の友人をご紹介することも可能です。

また、私は残念ながらまだ行ったことが無いのですが、以下のような小売りと日本酒バーを組み合わせた「吉力酒藏」さんというお店もあります。
https://www.facebook.com/kichiriki.sake/

私自身も日本酒が好きなので、もっともっと沢山の日本酒が台湾で販売されるようになって欲しいと思っている一人です。

13名だとマイクロバスまたは小型観光バスになると思いますが、九份観光に行くのは何曜日でしょうか？週末だと九份の老街の入り口までは路線バス以外の車は上がれません。少し下の大きな駐車場の近くで降ろされて老街までは階段を上ることになります。

費用は、九份だけならマイクロバスまたは小型観光バスを5時間貸し切ってNTD4,500/台程度だったと思いますが、台数が少ないので早めに予約をしたほうが良いです。また時期によって多少金額が変わるかもしれません。

飲食店を経営する友人が何人か居るので、その方たちをご紹介することは出来ます。

時刻表はこちらを参考にして下さい。
http://web.metro.taipei/timetables20170725/100a.pdf

タクシーは初乗り70元(約250円)ですが、深夜(23時～翌6時まで)は深夜割増しでプラス20元の90元(約330円)スタートです。
以下のウェブにも詳しく載っています。
https://allabout.co.jp/gm/gc/45012/

LINEだと思います。
プライベートだけでは無く、ビジネスでもLINE使う人多いです。

自分はUberを使っていないので分かりませんが、Uberは行く先々の国ごとにそういった認証が必要なシステムなのでしょうか？
確かに「台湾で登録する時」にはSMSでの認証が必要みたいです。
グローバル展開しているので、日本で登録されている人は台湾でも普通にそのまま使えるものだと思っていました。
ベトナムから来た友人も台湾で普通に使っていたように記憶しています。

内容的にはUberの日本運営に問い合わせ入れれば正確な回答を頂けるように思います。