24歳向けのフレキシ―パスというのがおいくらなのか知りませんが、電車の乗車料金は、乗る時間や曜日によって違いますので、料金は当然バラバラになります。乗り継ぎするかどうか、どこを経由するかによっても変わってきます。

旅行会社がパスを勧めてくれたのなら、それに従ったほうがいいと思いますが、厳密に計算してどっちが得か知りたいなら、まずどの電車にいつ乗って移動するのか、予定をかっちりと決めなければなりません。それから比較してみてください。

フレキシブルに気分によって乗り降りしたい感じでしたら、パスの方がいいと思いますよ。
車窓から景色を見ていて、「ここで降りてみたいな」と感じるかもしれませんしね。
でも、なにか訪問や会議などの予定があって、スケジュールがもう決まっているのでしたら、普通に乗車券を買ってもいいかもしれません。
切符でも（E-ticketですが）Off peakの時間帯でしたら、決まった電車でなく、この時間帯のどの電車に乗ってもいいよと書いてありますので、よく条件を読んでみてください。
まずは予定をきっちり決めて、それから比較してみてくださいね。

https://www.thetrainline.com/
こちらで全国どこでも調べられます。

それからLondonのバスや地下鉄はDebit Cardのタッチ決済で大丈夫です。現地の人でも、オイスター作らずにタッチで乗っている人はたくさんいます。旅行者でしたら、断然こっちがお勧めです。

またなにかありましたら、どうぞ。

さっと一読させていただいた限り、バーミンガム宿泊はちょっと無理ではないでしょうか？
ヒースローを6時半出発ですと、遅くとも朝5時までには空港に着きたいですよね？なのに、バーミンガムに宿泊とは？

夜行バスはもちろんありますが、夜行に乗るのでしたらバスの中で寝るわけで、バーミンガムに宿泊することはできませんよね？
https://www.nationalexpress.com/en
時刻表はこちらでどうぞ。例えば今度の金曜としますと、バーミンガムを夜中の12時半に出て、ヒースローに3時40分に着くというのがありますね。これなんかちょうどよさそうですが、週末はまた変わりますし、曜日によっても違いますので、そちらさまの予定の日を入れてみてください。

一番普通のチョイスとしては、前日にロンドンに行って泊まることだとは思いますが、結局早朝ホテルを出て空港に向かうことには変わりありませんから、私でしたら、夜行バスにするかもですね。
空港直行なので、早朝の街を荷物を持ってうろうろしなくていいですし、空港の中は24時間人がたくさんいますから、安全です。

ただ、質問者さまのご年齢などによっては、かなりの強行軍になるかもしれません。一日バーミンガムで動き回ったあと、夜中までどこかで時間をつぶしてからバスに乗り、おそらくはあまり眠れずに空港に早朝つき、その辺の椅子で仮眠を取って、それからまた12時間以上の空の旅ですから。お若いかたでしたらへいちゃらかもしれませんが、身体が心配でしたら、ロンドンにホテルの方がいいでしょうね。何時でもヒースロー行きのタクシーをゲットするのは簡単なことですから。

また何かあったら聞いてください。

スリがいると、どうしてカード決済をためらわれるのか、よくわかりません。
お金でバスや地下鉄に乗ることはできませんし、なんらかのカードを持つ必要があります。
現地の人を見ていると、デビットカード、携帯のアプリ、Oyster Card（日本のPasmoみたいな交通専門のカード）の順に使われてるように思います。

私は携帯落としたくないし、Oyster Cardの方が安上がりなので、Oyster Card使ってますが、旅行者の方はOysterは作りにくいので、デビットカードがいいと思います。

バスや地下鉄でカードをスワイプするところには、駅員さんや運転手さんがいるので、スリにとってはその場でカードを奪うのはちょっと難しいかと。

カードをすられるとしたら、買い物をするときとか、街中を歩いているときの方が危ないのではないでしょうか？

心配でしたら、カードをひも付きの定期入れのようなのに入れて、鞄にくくりつけたり、首から下げたらどうでしょうか？軽いものですし。
こっちの働いている人たちは、大抵なんらかのIDカードを首から下げて歩いてますので、別に目立ちませんよ。

イギリスでは、お金を持ち歩く人はもうあまりいません。
買い物もすべてカードです。（というかほとんどの人は、カードすら持たず、携帯のアプリで買い物しているようです。私はオールドファッションですし、携帯にあまりすべて頼るのは危ない気がするので、カード持ち歩いてますが。）

参考までに、私はイギリス在住30年以上ですが、スリに会ったことは一度もないです。
会ったという人に会ったこともありません。

私はこういうことぜんぜん知らなくって、しばしば日本のロコさんたちからこういうニュースを聞いて「へぇー！」ということがよくあるのですが、さっそくお調べしました。

まず2022年の11月9日にに、ヨークで一つの像が除幕されました。
場所はヨークのYork Minsterです。

https://en.wikipedia.org/wiki/Statue_of_Elizabeth_II,_York_Minster#:~:text=A%20statue%20of%20Queen%20Elizabeth,Queen%27s%20death%20in%20September%202022.

でもこれはコーギーつきではないので、こっちのことを言われているのではないですよね。

コーギーつきのはこちら。
https://www.smithsonianmag.com/smart-news/new-elizabeth-ii-statue-corgis-180984225/#:~:text=The%20monarch%2C%20who%20reigned%20for,dignitaries%20attended%20the%20unveiling%20ceremony.

場所は、The new monument is located on a lush, grassy area outside the library in Oakham, England, a small town about 100 miles north of London.
とありますから、Oakham Libraryのすぐ外にあるようですね。
Libraryの住所はこちらのようですので、Google Mapで調べてくださいね。
Catmose St, Oakham LE15 6HW

こっちはついこないだ、生きておられたら98歳のバースデーにあたる4月21日に除幕されたと書いてあります。

コーギーつきの方が、若い感じですね。似ているのは、ヨークの方のような気がします。

AirBnB (https://www.airbnb.co.uk/)で探されると比較的お安いと思いますが、もう試されましたか？（ホテルでないとちょっと…というのでしたら、仕方ないですが）
私はどこの国に行くのも、AirBnBです。
それから、MiXB(uk.mixb.net)には日本の人たちが短期の部屋貸しをたくさんされています。
そういうのでもよければ、安くあげられますよ。
10泊もされるのでしたら、ホテルはお高いですよね。

私の知っている限りで、デパートやスーパーにはお惣菜コーナーはありません。ハロッズのようなところには、デリカテッセンがあるので、それをお惣菜コーナーと言えばそうなりますが、ほかの場所では知りません。
イギリスでは、買ってフタを開けてそのまま食べれるというようなものは、サラダやスープくらいしか売っていません。だいたい、「お惣菜」というカテゴリーがおっしゃるとおりありませんので。あと、サンドイッチやサラダに使えるハムスやエッグマヨネーズ、コールスロー、いろんなチーズなどはありますね。でもどれも冷たいもので、単独で食べれるものではないです。

こちらの食事は、スパゲティーとかピザとかパイとかの一品物か、あとはメインのお肉かおさかなのお料理にサラダや温野菜やチーズを添えて食べるというのが普通です。
ですので、一品物がもうできあがっているのは、どこでも売っています。チンしたり、オーブンに入れたりすればそのまま食べれるというようなものですね。カレーとか、ピザとか、パスタソースとか。あと、お肉にもう味がついていて、それを一時間ほどオーブンに入れればなにもしなくていいというようなものはあります。

あと、高級なお肉屋さんとか、いわゆる小売りのデリカテッセン店では、ちょっと料理したマリネのようなものやピックル、いろんなチーズなどは手に入ります。だからそういうものをご希望でしたら、スーパーよりは、そういう高級小売店を目指されたほうがいいと思います。
ただ、お値段はお高いです。私はほとんど足を踏み入れたことはありません。庶民的な感じではないですね。どっちかというと、フランス人とか、大陸の人がそういうところで買い物をするイメージです。

大人気なのですか？初めて聞いたお店です。
日本の方はほんとに海外のお店について詳しいですね。

調べてみましたが、飲み放題というような記述はどこにもありません。
ただ、チャイや紅茶をポットで飲める店というのは、普通お湯がなくなったら頼めばどこでもまたお湯を入れてくれるのが普通です。葉っぱはもうもらえませんけどね。
どこでそういう話を聞かれたのかわかりませんが、そういうことを言っているのではないでしょうか？
以下はメニューのチャイの欄をコピーしたものですが、飲み放題とは書いてないですね。

HOUSE CHAI
All things nice: warming comfort and satisfying spice. Made the traditional way, or with oat milk. All who have tried it, swear by it. 4.20

ポット一つが結構大きいですから、飲み放題だったとしても、一人でそうポットに何杯も飲めるものではないと思いますよ。二人以上でシェアというのは、人数分払わない限り普通できませんから。

https://www.dishoom.com/
こちらWebsiteですので、よく見てみてください。
私もざっと読みましたが、タイムサービスのようなものは、チャイに限らず特に見当たりませんでした。
レストランのタイムサービスというのは、あまりこちらでは見かけません。
パブではよくハッピーアワーと言って、安く飲める時間帯がありますけどね。

これだけの情報ではなんとも言えないですね。

その5－6回の利用が一日に集中していてば、それは一日乗車券の方がいいでしょうし、そうでなければ一回ごとに払う方がいいでしょうね。

たった5－6回の乗車でしたら、銀行のデビットカードで十分と個人的には思います。

今は住人でも、オイスターカード使うよりも、デビットカードで乗り降りする人の方が多いですよ。あまりコストに差がないからだと思いますね。

私は現金持ち歩きませんが、旅行者の方とはニーズが少し違うかも？という感じはあります。
日本の方がお持ちのデビットカードは、中にはこっちでスワイプできないものもあると聞きます。
私が旅行者なら、少しだけ持ち歩きます。単なる安心材料としてですが。

ちなみに、私が現金を必要とするのは、コーナーショップで、2ポンド以下のものを買う時だけです。チャリティーショップでも、たまーに現金でないとだめなとこがあります。それぐらいですかね。普通に生活している分には、現金は不要です。
あと、こっちには物乞いしている人が多いので、あんまりかわいそうな人に少しあげたいなと思う時のために、少し小銭は用意しています。

恐れ入りますが、お答えする前に「企画展」とはなんのことか、教えていただけますか?
具体的な展示の名前を英語でお願いします。