まずSouthamptonからどこへ行かれるのかということですが、文面から察するに、イギリスではないところへ行かれるようですね？そして、クルーズ前に国内で4日間あると？日本からの飛行機はどこに着くのでしょうか？未知数が多くて、なんともアドバイスしにくいのですが。

Londonに着かれて、4日あるなら、基本的にはクルーズ前にどこにでも行けますよね？
Londonで二日は過ごしてたいということでしたら、イギリスの地図を広げて、残りの二日、どこが見たいか考えてお決めになったらいいと思いますよ。
イギリスの電車の旅はすべてLondon中心ですので、別にSouthamptonの近くでなくても、旅先はどこでもいいと思います。残りの二日でどこかに行って、またLondonに戻ってきてそこからSouthamptonに向かうということで。地方都市から地方都市へ向かうのは、あまりお勧めしません。結局Londonまで戻ってきた方が速かったということが多いですから。すっごく近くへ行かれるというならいいですけどね。まあ、地図を広げてお好きなところを決めてみてください。

お訪ねになりたい３つの博物館は、すべて特別展以外は入場無料で、予約もなにもいりません。したがって、オープンしている時間帯なら、いつ行っても入れます。
夏休みとか、ロンドン全体が混んでいる時期は、確かに外まで列がついていることもありますが（大英博物館が特に）そんなに長く並ばなくても入れます。あとの二つは並ばなくても入れると思います。

特別展は事前かその場でチケット買って入りますが、よっぽどなにか人気の展示がない限り、チケットがなくなるということはないと思います。ほとんどのお客さんは、無料のエリアにしか行きません。

ただ、中は常に混んでいるといっていいでしょう。特に大英博物館は、学校の遠足で来ているグループが多いです。あとの二つはそうでもないかな。すいている時間がいいなら、平日の午前中でしょうね。

この３つは、普通の人でもちゃんと見ようとしたら、一日仕事で、けっこうくたくたになりますから、一日一館、そして見たいところを絞っておかれたらいいでしょう。
中にはカフェもありますし、休めるところはたくさんあります。それに入場無料ですから、一回外に出て、また戻ってくることももちろん可能ですね。

楽しい訪問でありますように。

一万円以下というと、今のレートだと50-60ポンドですよね?それはちょっと無理ではないかと思います。TravellodgeもPremier Innも、最低でも100ポンド以上はします。

その予算でしたら、Airbnbをおすすめします。Airbnbでしたら、あると思いますよ。あと、MixBで、日本人の部屋貸ししている人を探してみてください。

つまり、今オーダーして、こちらにおられる来週から9月末までの間に、こちらで受け取りたいということですよね？
それにお答えするには、まずどこから購入されるのかを教えていただかないとなんとも言いようがありません。
販売元のサイトには、通常何日で着くというような記述があるはずですので、それにそってオーダーされたらと思います。
イギリス国内から国内へのデリバリーであれば、一か月もかかるということはありません。
普通数日ですね。でも、その販売元のサイトをよくお読みになれば、そういう情報は出ていると思います。

日本国内で使われているというお話ですが、いくら国内で検索しても何も出てきません。
具体的な商品名と、粒の大きさがどのくらいなのか、戻し方、あるレシピの作り方など、教えていただけませんか？
もっと商品についての情報があれば、お答えできると思います。

なーんでも大丈夫です。全くの普段着でOKです。観に来る人の過半数はツーリストですので、ジーンズやTシャツがほとんどです。

5ポンドはカードを作る手数料で、デポジットではありません。なのでリファンドはありません。カードを作るときに、10ポンドから50ポンドの間で自分の好きな額のクレジットを入れます。手数料の5ポンドはこれにはふくまれません（つまり乗車料として使うことはできません）。

イギリスは、一日のうちに四季が全部あると言われるように、いつでもどんな天候でもあり得ますので、脱ぎ着のできる服装をお勧めします。
突然の雨も多いので、日本の方でしたら、軽い折り畳み傘が必携でしょう。(こっちの人は、余程の土砂降りでない限り、傘はさしませんが)

8月半ばは、こちらではもう初秋ですので、日本の秋口と考えられたらいいでしょうね。薄いダウンはいいアイデアです。あとフリース一枚あったら、寒くなっても重ね着で対応できるでしょう。

夏でも、日本人が半袖一枚で歩きたいなと思う日は、ほとんどありません。(こっちの人は、ちょっと晴れ間になると、大喜びで脱ぎ始めますが。)

気候はどこでも変わりやすいですが、ロンドンのいいところは、都会なので、寒かったり降ったりしても、入れる場所がいっぱいあること。だから、ロンドンにおられる分には、そう神経質にならなくてもいいです。靴も普通のトレーナーで大丈夫です。

天気予報は比較的よく当たるので、毎朝チェックしてから出かけましょう。

https://www.stagecoachbus.com/routes/south-east/10x/maidstone-ashford/xfao010x.i

私は行ったことはありませんが、今Leeds Castleの公式ページに入ってみますと、Maidstone East
の駅から10Xのバスに30分乗れば、お城の前に着くと書いてありますよ。Maidstone East
まではLondonからですと、Victoria駅から直通です。↑は10Xの泊まる駅と時間が書いてあります。
Victoriaから着く電車の時間とバスの発着時間も合わせてくれているようですよ。

そちらさまの見られている公式ページとは違うのでしょうかね？私の見ているのはこれです。
https://leeds-castle.com/visit/opening-times-and-directions/

Russel squareはPicadilly lineですので、一本でヒースローにつけます。

朝の9時半か、夜かわかりませんが、私ならどっちでも断然tubeですね。安いし。

ただ、数日前にtflのサイトで、運休や路線閉鎖がないか、チェックして下さいね。特に週末は多いので。
tfl.gov.uk