何度か投稿されているようですが、ホームステイの場合、まずイギリスのどの土地でステイ先を探されているのか書いていただかないと、返事をする方も困ると思います。イギリスといっても、広いですからね！

それから、期間はどのくらいで、どの時期に来るのか？（数日ならいいけど長いのは困るという人もいれば、一週間単位でしか貸さないという人もいます。部屋が一つあるけど、時期によってはふさがっているので、いつ来るのかはっきりさせてほしいというのは、普通ですね。）

また、イギリスステイの目的は何なのか？（一緒に住むわけですから、どういう人がくるのかということは、ホストファミリーにとっては重要な情報です。）

どういう家庭がいいの？（どこの国籍の家庭でもかまわない？イギリス人がいる方がいい？日本人のみの家庭をお探し？）

ステイの間の生活パターンは？（日中はいなくて、夜だけ帰ってくるのか？子供の送り迎えやベビーシッティングはしてくれる？自分で調理するの？）

また、そちらの年齢、性別は？（学生のみというところもあれば、女性のみというところも。後者は非常に多いです。）

まず、こういったことをちゃんとそちらから書いていただくと、決まるのも早いと思いますよ。

帰りのチケットを予約するということは、長距離電車でどこか田舎の方にでも行くのでない限り、あまりこちらではありません。というのは、チケットがなくなるということが、ほぼあり得ないからですね。特にヒースローエキスプレスはいつもガラガラです。だれでも、帰りは自分の都合でフレキシブルに時間を変えられる方を望みますし（オープンリターンといいますが）。

お値段を今Klookで見てみましたら、片道25ポンドで往復37ポンドとありました。
でも、Elizabeth Lineなら片道11.50ポンド(所要30分）で直通です。
普通の地下鉄なら、乗り換え一度で、5.50ポンド（所要一時間）。
エキスプレスは所要25分ですから、Elizabeth Lineと時間もほとんど変わりません。
Paddingtonに行かれるのでしたら、こちらの方がずっとお得ですよ。しょっちゅう来ますし。今ロンドンで一番新しい電車ですから、エキスプレスよりもずっときれいで乗り心地もいいです。

https://tfl.gov.uk/plan-a-journey/
こちらでいろんなオプションをチェックしてみてください。

また、いつ来られるのかわかりませんが、ここ数か月ロンドンは電車や地下鉄のストライキが毎日のように行われています。ですので、予約しておいても、当日になったら動いていなかったということが、頻繁にあります。何を利用されるにしましても、前々日くらいに、上記のTFLのJourney Plannerで、チェックされてから利用されることをお勧めします。また、ストがなくても、週末はあちこちで工事が行われるので、これまた頻繁に使えない線が出てきます。

お話を知っているものを選ばれたらどうですか？（知らなかったら、観たいもののあらすじを、あらかじめ調べていくのももちろんいいですね！）
また、今はYoutubeでいろんなロンドンのミュージカルが観れます。字幕つきのももちろんあります。ですから、こういうのを先にさっと観ておいて、気に入ったもの、お話のわかったものを選ばれたらいいと思います。
こちらの質問も、質問者様の年齢も性別も、ミュージカル経験もわからないので、どれをお勧め！というのは、なかなかむずかしいですね。

ロンドン市内への車での移動は、何曜日でもあまりお勧めしないですね。
電車の方が、時間的にずっと信用できます。
でもまずどこの空港からいらっしゃるのかがわからないと、アドバイスは難しいですね。

一人暮らしといっても、どういう形態で住まれるかによって、お家賃はぜんぜん変わってきますね。こちらの独身者（特に学生さん）は、大抵ハウスシェアと言って、一つの家を何人かでシェアして使っています。一人で一つのフラットに住んでいる人はあまりいないですね。とても高いからだと思います。住み方としては、キッチンとバスルームを共同で使い、それぞれ自分の寝室を与えられます。共有エリアには、お掃除の人を入れてくれるところもあるし、自分たちで周り持ちでするところもあります。それから、大家さんの家の一部屋を借りて、大家さんと同居という住み方もあります。こちらは、大家さんとキッチンを共有する場合もあるし、自分だけの小さなキッチンがついているところもあります（高いですが）。燃料費、水道、電気、住民税などは、家賃に入っているところもあるし、別にとられるところもあります。最近は、燃料費高騰でかなりこの辺がお高くなっています。

https://uk.mixb.net/accommodation/articles
これは、日本人向けの情報ですけど、相場は大体こんなものだと思われたらいいかと思います。

物価は、イギリスの方がなんでも総じて高いですよ。倍とはいかないかもしれませんが、ものによっては倍ぐらいするものもあります。これは、イギリスの方が、日本よりも格段に人件費が高い（つまりお給料がいい）せいだと思います。今年のMinimum Wage（法定最低賃金）は、時給9ポンド60ペンスでした（大体1500円ぐらい）。だから、日本の人には、全体的になんでも高く見えると思います。

https://content.tfl.gov.uk/tube-map-with-tunnels.pdf

こちらをごらんください。車いすのマークの書いてある駅には、エレベーターがあります。
エスカレーターはほとんどの駅にありますが、短い階段などは、階段のみのところがあります。

でもスーツケースぐらいで心配しなくても大丈夫ですよ。
こちらの人はみな親切です。スーツケースを持って、階段を見上げていれば、数秒で何人かの人が助けを申し出てくれます。特に女性やご年配の場合は間違いなしですね。
階段は短いですから、一つずつ行ったり来たりして運んでもいいですし。
ラッシュ時はできれば避けたほうが行動しやすいですが、仕方なければ仕方ありません。
人のまったくいない真夜中さえ避ければ、かならず誰かが助けてくれます。ご心配なく。

https://londonist.com/london/drink/the-best-pubs-with-live-irish-music

ちょっと調べれば、いろいろあるようですよ。
ただ、そういうパブでも毎晩やっているわけではないでしょうから、ウェブサイトでチェックしたり、お店に電話して今日やってますか？と問い合わせたりしてから行くのが安全でしょうね。

タイタニックでやってるようなのは、100年も昔のことですし、映画の中のことです。
ライブミュージック以外、大衆の楽しみがなかった時代のことですね。
Irish Music自体は、聞けるところはたくさんあると思いますが、イギリス人はほんっとに踊らない国民ですので（超恥ずかしがり屋）、音楽が鳴ったから立ち上がって踊りだすというシーンはまず一般には見られません。（スペインとかラテン系の国ではそういうことよくありますが。）

踊りは文化ですので、質問者さんもおっしゃっている通り、やはり本家本元のアイルランドに行かれるのがいいかと思います。
ロンドンから飛行機でほんの１時間かそこらですよ。

私は去年親戚の結婚式でアイルランドに行きました。（花婿がアイリッシュ）
そこでは結婚式の後の余興として、アイリッシュダンスの先生を呼び、バンドも入って、参加者みんなに基本的なステップを教えてくれ、最後にはみんなそれ相応に踊れるようになって、簡単なダンスを楽しく踊りました。でも、本家のアイルランド人でも、こうして教えてもらって初めて踊り方が分かったという人が多かったです。

ご参考までに。

https://tfl.gov.uk/plan-a-journey/

こちらで調べてみてください。
私はいつも仕事で朝5時15分にピカデリーラインに乗ってきますが、24時間動いているので、日曜でも大丈夫ですよ。
地下鉄も線によって24時間の線とそうでない線があるので、これでチェックするといいです。ピカデリーはヒースローにつながっているので、ほかの線よりもフレキシブルです。
それに、バスは市内中心ならどこでも24時間動いていますよ。

タクシーで行かれたいのでしたら、ブラックキャブは高いですから、UberやBoltがお勧めです。予約ができないので、心配でしたら、どこの地下鉄の駅にも近くにキャブの会社がありますから、そこで予約されるといいでしょう。UberやBoltの台頭で、どこも安くなっています。

そちらでもお調べになれば、わかると思いますが、イギリスには「フリーランスビザ」というものはありません。
https://www.gov.uk/browse/visas-immigration/work-visas
こちらをごらんになって、質問者さまが、どのタイプのWorkerであるかによって、所定のビザの内容をごらんください。
基本的には、イギリス国内では同じような能力を持っている人がいない、ユニークな才能や能力を持っている人（たとえばアーティストや音楽家など）以外は、フリーでビザはとれないと思います（そういう人も、スポンサーが英国内にいないとだめのようですね）。
それから、そこにもありますように、チャリティーですとか、宗教関係ですとか、ほかにも枠組みはありますが、これも受け入れ先がないとだめだと思います。
英語の力ももちろん要求されるはずです。よくお読みになってみてください。

イギリスは、非常にビザを取るのが困難な国です。私が入国した30年前もそうでしたが、年々ますます厳しくなってきています。子供のころからイギリスで育っている人も、英国のパスポートがないと外人扱いです。よく調べてから来られた方がいいと思います。

Primarkでは毛布ぐらいしかないと思います。Ikeaのマットレスは、でっかくて重いし、車がないととても運べないと思いますよ。

今どこにおられるのか、日本なのかイギリスなのかわかりませんが、まだ日にちが少しあるのでしたら、Argosで、空気を入れて膨らませるタイプのマットレスをオンラインで買われて、ご友人のおうちに前もってデリバリーしておいたらどうですか?キャンプ用品店にもあるでしょうね。キャンプ用に買う人が多いので、持ち歩きもできますし。一つ持ってると便利です。

でも、大抵のイギリスの家にはソファーがあると思うので、寝袋があるのでしたら、ソファーで寝れば十分気持ちいいと思いますが。普通イギリス人は、友達の家に泊まるときは、ソファーに寝転がって、毛布か何か借りるだけです。