レンタカーが1番安くて時間をたくさん使えると思います。

シアトル市内だとNorthgateから北側のエリアが割と安いと思います。もしくはウエストシアトルは比較的安いアパートが見つかると思います。
HWY99(Aurora Ave沿い)は売春売買で有名なので避けた方がいいです。
一般的に人気のエリアはBallard、Fremont、Ravenna、Wallingford、Phinney Ridge、Upper Queen Anne、Magnolia、Madison Park周辺、West Seattle (北側)です。
ウエストシアトルはダウンタウンへのアクセスが橋しかなく、その橋が修復工事中で夏に終わる予定ですが、渋滞がひどいので頻繁にダウンタウンに行かれるなら厳しいかもしれません。
アパートを借りることがないのでアパートのことは分かりかねますが、
シアトル市内は家賃が高いので北のShorelineに住まれる方も多いです。
日本人の方も比較的多く住まわれてます。Shorelineは田舎すぎず、市内へのアクセスもしやすく、市内より家賃が安いので人気なんだと思います。ただ車がないとバスだけだと厳しいかもです。
最近は市内のアパートが取り合いになっているようで、FBなどで個人的に近々引っ越す人を募っている人も見かけるので、条件がいい所は見つけにくくなっているのかもしれません。
引っ越したいエリアを見つけたらFBでコミュニティのページに登録して呼びかけると意外と見つかるかもしれません。