北極くまさん、こんにちは。

どれくらいのレベルを目指されているかにも依りますが、
私自身も通った、Balassi Instituteの語学コースをおすすめします。
http://www.balassiintezet.hu/en/hungarian-language-courses/

ここは、もともとHungarian Language Instituteだったものが拡大した学校で、
語学の先生たちは「非母語としてのハンガリー語」の教師、
つまり、外国人向けの授業を専門にしている人たちでした。

授業は、基本的にはハンガリー語のみですが、
初級クラスでは、英語でも説明してくれるはずです。

また、音声学をもとにした発音のレッスンが受けられるのも良かったですね。

以上、ご参考になれば幸いです。
じん

北極くまさん、こんにちは。

住居登録カードとは、Szálláshely bejelentőlapのことで、滞在許可時に提出する書類の一つで、
当局により判が押された半券を滞在許可とあわせて携帯する義務があるものですね。
記入用紙は、入国管理局でも入手可能です。
http://www.bmbah.hu/images/formanyomtatvanyok-teljes/HUN/pdf/Sz%C3%A1ll%C3%A1shely%20bejelent%C5%91%20lap%20160701.pdf

帳票の記入は誰でも可能ですが、大家のサインが必要なこともあり、記入も大家に依頼するのがベターかと。

それ以外に、賃貸契約書、さらに不動産の登記簿謄本(tulajdoni lap)が必要になりますので、合わせて大家に伝えるとよいかと思います。
（以下のページの「MAGYARORSZÁGI SZÁLLÁSHELY MEGLÉTÉT IGAZOLÓ DOKUMENTUMOK」の項目を大家に読んでもらって下さい。）
http://www.bmbah.hu/index.php?option=com_k2&view=item&layout=item&id=406&Itemid=376&lang=hu

以上、ご参考になりましたら幸いです。
じん

suw@さん、こんにちは。

ブダペスト - ホッローケー - エゲル - ブダペストだと、
車で回っても、移動だけで4時間半以上かかります。
https://www.google.hu/maps/dir/Budapest/%E3%80%923176+%E3%83%9B%E3%83%83%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%82%B1%E3%83%BC/Eger/%E3%83%96%E3%83%80%E3%83%9A%E3%82%B9%E3%83%88/@47.7571969,19.1694143,9z/data=!3m1!4b1!4m26!4m25!1m5!1m1!1s0x4741c334d1d4cfc9:0x400c4290c1e1160!2m2!1d19.040235!2d47.497912!1m5!1m1!1s0x47403df629faa6e5:0x400c4290c1ecc00!2m2!1d19.5919709!2d47.9975197!1m5!1m1!1s0x47408d7894b04023:0x63adb259948d1c24!2m2!1d20.3772284!2d47.9025348!1m5!1m1!1s0x4741c334d1d4cfc9:0x400c4290c1e1160!2m2!1d19.040235!2d47.497912!3e0?hl=ja

物理的には1日で回ることは可能ですが、2ヶ所観光の日帰り計画はおすすめできません。

以上、ご参考になりましたら幸いです。
じん

rintaさん、こんにちは。

2017年のトカイの収穫祭（Tokaji Szüreti Napok）は、10月6～8日の開催です。
http://www.tokaj-turizmus.hu/Tokaji-Szureti-Napok

ワインセラーに関しては、シーズンを過ぎると閉めるというのは、有り得る話ですが、これに関しては個別に問い合わせるしかないですね。観光客相手のところは、オープンしている可能性が高いとは思います。

以上、ご参考になりましたら幸いです。
じん

atさん、こんにちは。

ハンガリーで一般的なのは、pezgőtablettaと呼ばれる、水に溶かす錠剤ですね。
こちらは、薬局、スーパーなどでも置いてありますが、スポーツ飲料タイプは少ないと思います。

スポーツ飲料であれば、Hervis, Decathlonなどのスポーツ専門店で探したほうが早いでしょう。
日本でも有名なゲータレード（Gatorade）などが並んでいるはずです。

以上、ご参考になりましたら幸いです。
じん

Aya0801さん、こんにちは。

日本人がブダ側に多いのは、日本人学校が12区にあることが理由として大きいです。
（通学バスがブダ側しか走っていないため）

ブダ側は家賃が高めですし、車がないと移動が苦しいので、
会社が6,7,8区を紹介するのは、理解できます。
（カンパニーカーが支給されるなら別ですが）

ブダペストでの住居探しで、まず考慮すべきは、交通の便でしょう。
人の往来が多い場所は、それなりに安全でもあるからです。

私ならば、4-6番トラム沿線をおすすめしたいです。
次善は、地下鉄駅近く、中心街に向かって走るバス路線の沿線といったところでしょうか。
後は予算との相談ですね。

以上、ご参考になりましたら幸いです。
じん

appleberryさん、こんにちは。

あくまで、一般論としての回答ですが。。。

まず（2）は、持病の有無にかかわらず、
留学の場合、基本的には、ハンガリーの社会保険には加入できず、
プライベート保険に加入することになります。
なお、これでもVISA取得の要件を満たすはずです。

(1)については、受け入れ組織によると思います。
これは、受け入れ側からの情報が必要です。

最後に（3）については、治療内容によるでしょうね。
ただ、日本とは保険制度が違うので、
日本と同じようにはいかないとお考え下さい。

以上、ご参考になりましたら幸いです。
じん

atさん、こんにちは。

郵便物に追跡番号を付けるなら、EMSで送ることになります。
（以下のハンガリー郵便局サイトの最後のFAQに、この旨の記述があります）
https://www.posta.hu/kuldemeny_kuldese/tobbletszolgaltatasok/ajanlott

封書として送るのならば、EMS PRINTとなり、
日本向けの料金は、7,079 HUF（0.25kgまで）からですね。

ちなみに、普通の国際郵便の場合は1,630 HUF（100～250g、速達付き）です。
https://www.posta.hu/postai_dijak

以上、ご参考になりましたら幸いです。
じん

atさん、こんにちは。

口座が開設できるかどうかを考慮しなければ、
ネットバンキングのサービスがある銀行がよいでしょうね。

私は、MKBとErste、CIBなどを使った経験がありますが、
この中ではErsteが使いやすかったです。
http://www.erstebank.hu/en/english
ただし、ネットバンキングには携帯電話が必須でしたのでご注意を。

以上、ご参考になりましたら、幸いです。
じん