南大門市場であれば廉価で上記のものを入手できるかと思います。
子供服のお店が集中しているエリアがありますので、可能かと思います。
ただ、歯固めなど赤ちゃんが直接口にしたりするものについては、商品の安全性の問題等もあるので、韓国でも名の通ったメーカーのものがおすすめなので、在来市場で仕入れるよりも、定評のあるメーカー直のほうが安心できるかと思います。

韓国観光公社ホームページの検索で検索するとソウル市東大門区にベニキアフラワーホテルというところがありました。
http://japanese.visitkorea.or.kr/jpn/ACM/AC_JA_6_1.jsp?cid=902051

もしかすると他にも似た名前があるかもしれませんが。

立席券は前売りも含め駅での発売のみになっているのでネットでの事前予約は残念ながらできません。来週末木曜日から日曜日までの旧正月連休は地方への下りは前半、ソウル方面へは後半が利用客が多く立ち席でもきついかもしれません。
始発ならば空席があるKTXもあるようなのですが8時台以降からずいぶん売り切れが多く16日はソルラル連休中なのでそれも列車によってはきついかもしれません。
高速バスも仁川国際空港第二ターミナルからだとあらたな交通センターのバスターミナルから乗れますので乗車に関しては外国語サポートもあり便利かもしれません。

ＵＮＩＱＬＯのネット販売で見てみたのですが、いちおうＢＬＯＣＫＴＥＣシリーズは取り扱っているようで、フリースパンツもありました。
ただネット販売の表示なので、実店舗で常時あるかどうかということはわかりません。（過去にネットでは在庫ありだったのですが、実店舗に行ってなかった経験がありました。）

旧正月期間（2月15日～18日）ですがソルラル当日が16日に当たることから、最近では16日当日のみお休み、あるいはその前日15日と合わせて2日間、その翌日17日と合わせて2日間というような休みのパターンのお店が多くなっています。
ユニクロのページでは特に休業のお知らせは現状ではでていませんが、どこかで休業となる可能性もあるかもしれません。
ミャンマーからでしたらおそらく仁川国際空港到着と思われますので、そのまま空港鉄道でソウル駅までいらっしゃればソウル駅の駅ビルみたいになっているロッテマート3階にユニクロが入っているのでそこでご確認いただけるかもしれません。
なおソウルの中心部でしたら明洞にユニクロの旗艦店があるので（明洞中央店）品ぞろえはいいかもしれません。

平昌パスがなくても、立席・自由席券、駅で買えます。
ただ自由席は少ないので始発駅でないと確保が難しい場合も。
通勤族の中には携帯用椅子を持ってた強者もいましたよ。(笑)

現在、平昌冬季五輪の会場近くを通る新線（原州―江陵・京江線の一部）でＫＴＸの試運転中ですが、まだ平昌オリンピックに向けてのＫＴＸ運転がどうなるのか具体的なスケジュールが出ない状況でこちらもちょっと困っています。
ただ数日前、韓国のマスコミに試乗会をした時の記事が出ていたのですが、来月1日からチケット販売、と言及していた新聞（江原日報）があったので、通常1か月前からＫＴＸのチケット前売り開始ということを考えると来年1月1日から運転開始の可能性もあるかもしれません。

一応、ＫＴＸの予定ですが仁川空港から空港鉄道を通って水色駅から京義線の線路に入り、ソウル駅を経由して龍山から漢江べりに走り抜けて中央線に入り原州手前で現在試運転中の新線に入り一気に山越えをして江陵へ、となっています。（ほかにもソウル東部の上鳳駅でＫＴＸの乗り入れと思われる駅改良工事を中央線のムグンファ号に乗っている時見かけたのでここからもＫＴＸが出発するかもしれません）

現状、陸路で江陵へ抜けるには従来の在来線でソウル市内の清涼里駅から出発して、ぐるっと回って5時間以上かけて江陵へ向かうか、あるいは高速バスで江陵へという方法しかないかと思います。

おそらく日本の韓国領事館（東京でしょうか。あるいは地方でしょうか？東京の場合だと扱いが多いのであまりトラブルはないのですが・・・）の担当官がよく知らないだけのような気がしますが、念のためｋｏｒｅａ　ｖｉｓａ　ｐｏｒｔａｌ（https://www.visa.go.kr）で確認したところ、規則上は可能なようです。

韓国の大学付属の韓国語の語学学校（延世大韓国語学堂など）やにまず入学のご予定であれば、ご本人のビザは大学付属語学院研修Ｄ－４－１が発給されます。で、同伴されるご家族には同伴Ｆ－３－１の対象となるはずです。コリアビザポータルには「文化芸術(D-1)から特定活動(E-7)までの滞留資格に該当する人の配偶者と未婚姻の未成年子女」が対象とちゃんと書いてあるので大丈夫だと思います！（https://www.visa.go.kr/openPage.do?MENU_ID=1010201　のページに韓国語ですが同伴Ｆ－３－１の適用範囲が書かれていますので、これを領事館の担当官に示せば大丈夫だとおもいます）
このほか専門大学（短大）、大学学部、大学院碩士（修士）、大学院博士、研究、交換留学も同じく大丈夫です。
以前、留学で配偶者やお子さんと一緒に留学の方もいらっしゃったので、大丈夫かと思います。

それと代行なんですが、韓国側で招へいする場合であればその所属機関の人間が入管に事前にやり取りをして入管からビザ発給証明書などをとることが可能なのですが、全く関係のない人間が入管に問い合わせ場合はせいぜい問い合わせ程度でおしまいとなり、確約までは実際のところ取れないというのが実情です。（以前、会社組織で他の種類の査証発給業務をしましたが、全く関係のない人の場合だとほとんど相手にしてくれないという状況でした。）

ひとまず、コリアビザポータルの情報をもとにもう一度、今度は同じ領事館領事部の窓口の担当官でも別の人に当たって、こういう説明がコリアビザポータルにあるんだが、子供にＦ－３が出るのはないか？と迫ってみるのがいいかと思います。

韓国在住の人の場合、出国が決まっていて航空券をおさえていれば、街中の免税店で購入可能です。購入した商品は出国審査が終わった後の空港内のセキュリティエリア内の引渡場にて受け取ることになります。

ただ、デパートなど一般の免税店ではない売り場で外国人観光客用に付加価値税の払い戻しをしている店については、韓国在住の人（外国人登録している在韓外国人も含む）は利用できません。

免税店の割引カードですが、各免税店ともＶＩＰカードや割引カードの制度があるので利用すれば割引や利用実績による割引加算などしてくれます。韓国在住の方であればクレジットカードによっては何パーセントか割り引いてくれるケースもあります。

ソウルから往復でというのであれば、料金はかなりかかりますが可能ですが、地方都市からソウルへの片道という形ですとかなり大変かと思います。（おそらく可能でもカンヌンへの戻りの費用も請求される可能性があるかとおもいます。またソウル・首都圏であれば日本語可能なドライバーも結構いるのですが、地方だとかなり探すのが大変かとおもいます。）

仕事でよくいわゆる模範タクシー（デラックスタクシー）やジャンボタクシー、運転手付きレンタカーで日帰りでソウル―江原道（かなりソウル寄りのところ）を過去お願いしましたが、距離と時間にもよりますが３０万ウォンちょっと（目的地付近でいろいろ所用の場所を何ヵ所か回って・・・）かかった記憶があります。

泊りがけでという話になると、運転手の宿泊代やら食事代（日帰りでも運転手付レンタカーの場合かかったりすることも）、駐車料金など加算されたりとします。

また普通の市内の流しのタクシーはたまに女性運転手を見かけることがありますが、予約して利用するタクシーでは一度も女性の方に遭遇したことがないので、地方都市からソウルへ、ということになるとほとんど皆無に近いかとおもいます。

地方からソウルへということであれば、いろいろ言葉の問題でなかなか通じなかったり大変かとは思いますがバスや鉄道などをご利用される方が確実かとおもいます。