昔は梨泰院から明洞、南大門、東大門へですと、車ぐらいしか手段がありませんでしたが、ソウル地下鉄6号線が開通してからは地下鉄移動が一番安全で確実かと思います。
慣れてくれば市内バスでの移動もソウル市内では便利です。
ただソウルの地下鉄の終電が比較的早いので深夜の移動となるとタクシーに頼らざるを得ません。
模範タクシーも一時期よりかなり少なくなってしまい、以前よりはつかまえにくいかもしれません。
当地在住の外国人の間ではKAKAO TAXIというアプリを入れてタクシーを呼んでよく利用しますが、海外向けのスマホだと利用できるかどうか定かではありません。
宿泊先のホテルからであればベルボーイやフロントに言えば簡単にタクシー利用できるかと思いますが、戻りが大変かもしれません。
昔から比べればかなりぼったくりタクシーは少なくなりましたが、万一に備え、ナンバーなどを控えておく、領収書を必ずもらう、スマホアプリで遠回りしていないかチェックする、万一なにかあったら観光警察や韓国観光公社の外国人観光者向けのホットライン１３３０（ちなみに専用アプリを入れておくとネット環境にあればすぐにつながります。日本語で対応可能）に助けを求めるといった対策も必要かと思います。

小さなお子様とご一緒に訪韓されるとのことなので、お子さんも飽きない場所がおすすめのような気がします。
弘大・明洞・南大門・高速バスターミナル・東大門とも小さなお子さんが遊べそうなところがなくなかなかぐずってしまうかもしれないので、途中でロッテワールドやデパートなどのキッズルームなどをご利用になるのも手かと思います。

南大門市場であれば廉価で上記のものを入手できるかと思います。
子供服のお店が集中しているエリアがありますので、可能かと思います。
ただ、歯固めなど赤ちゃんが直接口にしたりするものについては、商品の安全性の問題等もあるので、韓国でも名の通ったメーカーのものがおすすめなので、在来市場で仕入れるよりも、定評のあるメーカー直のほうが安心できるかと思います。

韓国観光公社ホームページの検索で検索するとソウル市東大門区にベニキアフラワーホテルというところがありました。
http://japanese.visitkorea.or.kr/jpn/ACM/AC_JA_6_1.jsp?cid=902051

もしかすると他にも似た名前があるかもしれませんが。

立席券は前売りも含め駅での発売のみになっているのでネットでの事前予約は残念ながらできません。来週末木曜日から日曜日までの旧正月連休は地方への下りは前半、ソウル方面へは後半が利用客が多く立ち席でもきついかもしれません。
始発ならば空席があるKTXもあるようなのですが8時台以降からずいぶん売り切れが多く16日はソルラル連休中なのでそれも列車によってはきついかもしれません。
高速バスも仁川国際空港第二ターミナルからだとあらたな交通センターのバスターミナルから乗れますので乗車に関しては外国語サポートもあり便利かもしれません。

ＵＮＩＱＬＯのネット販売で見てみたのですが、いちおうＢＬＯＣＫＴＥＣシリーズは取り扱っているようで、フリースパンツもありました。
ただネット販売の表示なので、実店舗で常時あるかどうかということはわかりません。（過去にネットでは在庫ありだったのですが、実店舗に行ってなかった経験がありました。）

旧正月期間（2月15日～18日）ですがソルラル当日が16日に当たることから、最近では16日当日のみお休み、あるいはその前日15日と合わせて2日間、その翌日17日と合わせて2日間というような休みのパターンのお店が多くなっています。
ユニクロのページでは特に休業のお知らせは現状ではでていませんが、どこかで休業となる可能性もあるかもしれません。
ミャンマーからでしたらおそらく仁川国際空港到着と思われますので、そのまま空港鉄道でソウル駅までいらっしゃればソウル駅の駅ビルみたいになっているロッテマート3階にユニクロが入っているのでそこでご確認いただけるかもしれません。
なおソウルの中心部でしたら明洞にユニクロの旗艦店があるので（明洞中央店）品ぞろえはいいかもしれません。

平昌パスがなくても、立席・自由席券、駅で買えます。
ただ自由席は少ないので始発駅でないと確保が難しい場合も。
通勤族の中には携帯用椅子を持ってた強者もいましたよ。(笑)

現在、平昌冬季五輪の会場近くを通る新線（原州―江陵・京江線の一部）でＫＴＸの試運転中ですが、まだ平昌オリンピックに向けてのＫＴＸ運転がどうなるのか具体的なスケジュールが出ない状況でこちらもちょっと困っています。
ただ数日前、韓国のマスコミに試乗会をした時の記事が出ていたのですが、来月1日からチケット販売、と言及していた新聞（江原日報）があったので、通常1か月前からＫＴＸのチケット前売り開始ということを考えると来年1月1日から運転開始の可能性もあるかもしれません。

一応、ＫＴＸの予定ですが仁川空港から空港鉄道を通って水色駅から京義線の線路に入り、ソウル駅を経由して龍山から漢江べりに走り抜けて中央線に入り原州手前で現在試運転中の新線に入り一気に山越えをして江陵へ、となっています。（ほかにもソウル東部の上鳳駅でＫＴＸの乗り入れと思われる駅改良工事を中央線のムグンファ号に乗っている時見かけたのでここからもＫＴＸが出発するかもしれません）

現状、陸路で江陵へ抜けるには従来の在来線でソウル市内の清涼里駅から出発して、ぐるっと回って5時間以上かけて江陵へ向かうか、あるいは高速バスで江陵へという方法しかないかと思います。

おそらく日本の韓国領事館（東京でしょうか。あるいは地方でしょうか？東京の場合だと扱いが多いのであまりトラブルはないのですが・・・）の担当官がよく知らないだけのような気がしますが、念のためｋｏｒｅａ　ｖｉｓａ　ｐｏｒｔａｌ（https://www.visa.go.kr）で確認したところ、規則上は可能なようです。

韓国の大学付属の韓国語の語学学校（延世大韓国語学堂など）やにまず入学のご予定であれば、ご本人のビザは大学付属語学院研修Ｄ－４－１が発給されます。で、同伴されるご家族には同伴Ｆ－３－１の対象となるはずです。コリアビザポータルには「文化芸術(D-1)から特定活動(E-7)までの滞留資格に該当する人の配偶者と未婚姻の未成年子女」が対象とちゃんと書いてあるので大丈夫だと思います！（https://www.visa.go.kr/openPage.do?MENU_ID=1010201　のページに韓国語ですが同伴Ｆ－３－１の適用範囲が書かれていますので、これを領事館の担当官に示せば大丈夫だとおもいます）
このほか専門大学（短大）、大学学部、大学院碩士（修士）、大学院博士、研究、交換留学も同じく大丈夫です。
以前、留学で配偶者やお子さんと一緒に留学の方もいらっしゃったので、大丈夫かと思います。

それと代行なんですが、韓国側で招へいする場合であればその所属機関の人間が入管に事前にやり取りをして入管からビザ発給証明書などをとることが可能なのですが、全く関係のない人間が入管に問い合わせ場合はせいぜい問い合わせ程度でおしまいとなり、確約までは実際のところ取れないというのが実情です。（以前、会社組織で他の種類の査証発給業務をしましたが、全く関係のない人の場合だとほとんど相手にしてくれないという状況でした。）

ひとまず、コリアビザポータルの情報をもとにもう一度、今度は同じ領事館領事部の窓口の担当官でも別の人に当たって、こういう説明がコリアビザポータルにあるんだが、子供にＦ－３が出るのはないか？と迫ってみるのがいいかと思います。

韓国在住の人の場合、出国が決まっていて航空券をおさえていれば、街中の免税店で購入可能です。購入した商品は出国審査が終わった後の空港内のセキュリティエリア内の引渡場にて受け取ることになります。

ただ、デパートなど一般の免税店ではない売り場で外国人観光客用に付加価値税の払い戻しをしている店については、韓国在住の人（外国人登録している在韓外国人も含む）は利用できません。

免税店の割引カードですが、各免税店ともＶＩＰカードや割引カードの制度があるので利用すれば割引や利用実績による割引加算などしてくれます。韓国在住の方であればクレジットカードによっては何パーセントか割り引いてくれるケースもあります。