A1.
紙に文字を書いて話しをすることは可能だと思います。
人数的にはタクシーだと大きめのタクシー（Wish等）2台になるかと思います。
イメージ的にはチャーターになるので、高雄から台南のホテルに到着するまでの3~4時間くらいの値段交渉になります（高雄空港から蓮池潭まで約30分、蓮池潭から台南まで約1時間）。
通常は1台NTD500~700/時間くらいでチャーターできると思いますが、人数が多いのでもう少し高めに言ってくるかもしれません。予算があるならそれを事前に交渉時の紙に書いても良いかもしれません。
A2.
マイクロバスのチャーターは確かNTD1,200/時間だったと思いますが、台数が少ないので必要なら早めに予約したほうが良いです。私のほうで手配することも出来ます。

参考になれば幸いです。

ミラマーガーデンホテルのホームページに桃園空港からのアクセス情報があります。
　https://goo.gl/6GPKSJ

タクシーだとNTD1,000~1,200くらいだと思います。
ホテルのリムジンサービスを頼むと恐らくNTD1,200～1,500くらいだと思います。

宝石店があるようなので購入可能と思います。
またゴールドバーについては台湾銀行でも販売しているようです。
ネットでも沢山売っています。
専門の業者さんも台北市内に何件かあるようです。

通常ビジネス同行の場合は3,000~3,500円/時間頂いています。
ですので、8時間では24,000～28,000円、4時間であれば12,000～14,000円になります。
ただし予算等あればご相談には応じます。
終了の時間については多少過ぎてしまっても構いません。

ただ、既に別のアテンド依頼が6/5-6に入ってしまっているので、6/7-8であれば対応可能です。
詳細については個別の相談/依頼として申請して下さい。
相談のみであれば料金は発生しませんので御安心下さい。

MRT民権西路から桃園空港へ行くバスは「1841」になります。
ただ、数字から漢字の名称に路線バスの名称が変わってきているのでtomanさんが来られるときにこの番号のままかは分かりません。
Google Map で普通にバスの乗り換えも案内してくれますのでそちらを参考にされると良いと思います。

大体1時間ちょっとで桃園空港に着きますが、道路状況によっては変動するので余裕をもって行動されることをお勧めします。

猫空は台北市内中心部から南東、その他のご希望の場所は北東になります。
効率的に回るなら猫空は別の日にしたほうが良いと思いますが、距離的には市内からその他の場所ほどは遠く無いので回ろうと思えば回れると思います。
夕方九份に居たいとのことですので以下の2つが考えられると思います。
＜一日で全部回るコース＞
　台北市内 -> 猫空 -> 十份 -> 金瓜石 -> 九份 -> 台北市内
＜二日に分けるて回るコース＞
　一日目：台北市内 -> 十份 -> 金瓜石 -> 九份 (-> 基隆夜市) -> 台北市内
　二日目：台北市内 -> 猫空 (-> 動物園) -> 台北市内

十份の滝は駐車場から往復で30分くらいかかるので、滝を見る時間をいれると1時間程度の行程になります。
その他の場所も基本的には徒歩が多いので御注意下さい。

効率的に回るなら車をチャーターすることをお勧めしますが、公共交通機関を利用する場合は電車/バスの乗り継ぎ等事前にある程度調べてから行動しないと待ち時間が多くなってしまうと思います。

ご参考になれば幸いです。

台湾のコンセントはグランド端子付きの三端子のものが多いですが、二端子として使うなら日本のものと全く同じです。
電圧が110Vなので基本的にはほとんどの電気機器はそのまま使えますが、ものによっては動作しないものもあるかもしれません。

新幹線の商務車には乗客用のコンセントがあります。
台湾鉄道のほうは特急列車のトイレには使用OKなコンセントがあるようですが、それ以外の車両にあるコンセントは使うと違法のようです。

台湾政府として用意している義援金の受付窓口
　https://www.mofa.gov.tw/en/cp.aspx?n=9AA4570E55205A92
日台交流協会（日本大使館相当）の関連記事
　https://www.koryu.or.jp/news/?ItemId=170&dispmid=4259

日本国内に複数ある「台北駐日経済文化代表処（台湾大使館相当）」でも受け付けてくれているようです。
　https://www.roc-taiwan.org/jp_ja/index.html

花蓮政府も口座を準備しているようですが、現地で直接手渡しできるようなところに関する情報は見つけられませんでした。