お話から察すると、あまりイギリスの大学についてご存じではないようですので、最初のステップとして、British Councilにご自分で出向いてお調べになるのが一番と思います。

まず費用の件ですが、International Studentでは最低￡10,000年間に学費だけでかかります。これは国全体の最低ラインで、これ以下はないと思います。今のレートで約140万円ですから、日本よりも断然高いはすです。生活費は、もうこれは日本の倍はかかると思って間違いありません。イギリスの物価は高いです。お話からすると、Londonの近くを探しておられる由、そうすると住居費は地方の倍になります。

イギリスの大学は、Oxbridgeと呼ばれるOxfordとCambridgeを別格とすると、その下にはRussel Groupと呼ばれる24大学が控えています（https://russellgroup.ac.uk/about/our-universities/）。あなたがイギリスで就職するおつもりなら、この辺に行っておくといいかもしれません。でも日本で働くおつもりなら、逆に日本でよいとされている大学を選ばれるのが筋でしょうね。MBAはいろんな学部を出た人の集まりですから、別に経営で学士を持っていても有利ということはありません。MBAに来ている人は、ほとんどが会社から派遣されている人（仕事の上で必要だから）かすでに自分で会社を経営していて、実戦力として学びたい人です。それに、海外からいわゆるハクをつけるために自費で来ている若い学生が少しいます。3番目のグループは、日本、中国、韓国、中近東などのお金持ちの学生が多いです。

イギリスの大学は入試もなにもありませんから、高校でまともな成績を取っていて、IELTSの点を取っていれば、まず入れるでしょう。編入の場合は、自分の大学の成績を持って行って、それでどのくらいその大学に認めてもらえるかを学校ごとに審査してもらうことになりますが、その場合も高校の成績が非常に重要です。

それから、留学生の最難関がIELTSで規定の点を出すことです。このラインも大学や学部によって変わりますが（その大学のサイトに入れば、必ず書いてあります）、海外経験のない日本人にとってはかなり高い点数です。もっとも大変なのはWritingの部門で、短い時間で規定通りの文章構成ができなければ点はでませんので、これに数年かける人もいます。欧米の大学というのは、とにかく毎日何千字と書くのが仕事ですから、Writingの力、そして早く大量の文献を読む力がないと、提出物を出すことができません。入学しても、これで脱落する学生は多いです。でも、この能力は、留学しなくても日本でIELTS用のテキストを買って独学することができます。

以上経験から思いつくままに書いてみました。ご自分でもっとリサーチされることをお勧めします。

１２月２９日から１月１日までのロンドンは、普段とほとんど変わりありません。

小さい個人経営の店は、クリスマスからお正月まで続けて閉めるところもありますが、大手のチェーンスーパーは、若干営業時間が短くなる程度で、開いています。ただ、生産者で休むところが多いので、生鮮食料品の棚はがら空きということは、ままありますが。
またOff Licenceと呼ばれる、いつも２４時間開けている小さいスーパー（ロンドンでは至る所にあります）は、クリスマスもお正月も関係なく、いつでも開いています。（このOff Licenceの経営者は、たいてい中近東とかインドとかのクリスチャンではない人達によって経営されているので、彼らはクリスマスを祝いません。それから、彼らの信じる宗教では、元旦は全然違う時期にあります）
美術館とかそういうところも、クリスマスと翌日のBoxing Day以外は開いているはずです。

交通が止まるのは、クリスマスとBoxing Dayの午前中だけで、あとは普段通りです。クリスマス休暇で帰省している人が多いので、電車はむしろすいています。３１日の夜から元旦までは、花火を見に行く人達のために、地下鉄は特別に無料で運行しているぐらいです。

一月初旬までとウェブサイトには書いてあります。

クリスマスはこちらでは、12月25日に始まり、12夜といわれるそこから12日目までをさしますので、1月6日まではオフィシャルにクリスマスです。

安全かというご質問ですが、もちろん何をどこでされるのかにもよりますが、普通の観光地を暗くなる前に訪ねる分には、非常に安全と考えます。スリなどもあまり聞いたことないですが、常識的に行動している限り大丈夫だと思います。

イギリス23年、ロンドン通算20年になりますが、一度も危険を感じたことはありません。ご参考になれば。

ストーンヘンジのツアーは、クリスマスと元旦を除いて一年中やっていますから、2月でもご本人が行きたいのでしたら、行ってみたらいいと思います。
すっごい寒いのが普通ですが、ほかの季節に行っても、その日だけ寒くなることもあり得ますし、もしかしたら２月でも奇跡的に暖かい日かもしれません。
天気が年間通じて定まらないのがイギリスです。
おっしゃるように、着いてから天気をみて決めてはどうでしょうか。

ただ、レンタカーもバスも使いたくないとすると、あとはタクシーしかありません。
駅から歩いていくのは無理です。バスツアーは通訳もついていますし、とても便利ですよ。
ストーンヘンジは文字通り荒野の真ん中にどんと立っているだけですから、慣れない旅行者が一人で行くのは、いろんな面であまりお勧めしません。

どこを観光されるおつもりか次第ですが、ロンドンは狭いので、ハマスミスならまずどこでもアクセスは便利です。Zone1内ならもっと便利ですが、ぐっとお高くなりますし、夜などもうるさかったりしますので、ハマスミスはいいと思います。
ユーロスターでパリでしたら、Waterlooからの発着になりますが、あの辺は大きなアメリカ系のホテルしかなく、特に理由がないのでしたらそのあたりはあまりお勧めはしません。経済的なゆとりがおありでしたら、テムズ河の眺めがとてもいいですが。
Zone2かZone3の駅の近くに泊まられるのが、地下鉄を使っての移動を考えておられるなら便利ですね。バスはどこでも走っていますし、夜中も運行していますが、初めてだと地下鉄の方が使いやすいでしょう。
まずどこを観光したいのか絞って、それから決められてはどうかと思いますが、基本ロンドンは小さいので、よほど辺鄙なところへ行かない限り、どこでもアクセスはよいです。ハマスミス、賛成です。

まずOyster Cardには住人用と旅行者用がありまして、旅行者用は旅行に出る前に購入しなければなりませんので、空港についてから買うことはできません。日本を出られる前に、時間の余裕を持って購入してください。住人用は、イギリスに住所のない人は買えません。

一番おすすめなのは、お手持ちのクレジットまたはデビットカードを直接使われることです。
コンタクトレスカードとこちらでは呼ばれています。
日本のカードを持ってないのでわからないのですが、クレジットまたはデビットカードの右端にスピーカーのような、メガホンのようなマークがついているカードがそれです。お手持ちのカードにそれがついていましたら、こちらでも使えるはずです。（下記をご参照）
これを見る限りでは、Master CardやVisa Cardの一部は日本で発行されているものも使えそうな感じです。
これだと、なにも買い求める必要はありません。Oyster Cardの特典もすべてついてきます。

Contactless cards
If your bank card shows the contactless payment symbol, you can use it to pay as you go straight away. You'll pay an adult rate fare.
Many contactless cards issued outside the UK can be used to pay as you go for travel (overseas transaction fees may apply):

American Express (AMEX)
MasterCard and Maestro (some cards issued in the USA, Canada and the Netherlands aren't accepted)
Visa and V PAY (some cards issued outside the UK aren't accepted)
If you have a prepaid card, it may be accepted on our transport services. Check with your card issuer if you're not sure if your card is contactless or if it's rejected.

https://freetoursbyfoot.com/oyster-card-london/#which
こちらにお問い合わせの答えはすべて書いてありますので、読んでみてください。

もしお手持ちのカードがコンタクトレスでないのでしたら（そういうものが日本にもしあるのでしたら、この際おつくりになってみては？）普通にTravel Cardを買われるのが一番かと私は思います。お役に立てましたら。

https://www.parliament.uk/visiting/visiting-and-tours/tours-of-parliament/guided-tours-of-parliament/

私が無知なのかもしれませんが、この国会のサイトによると、少なくとも2020年の3月28日までは、現在ガイドツアーのチケット売ってると書いてありますね？
その先がまだ売ってないのは、あまりに先だからと思いますが。
いついつまでしかツアーをやっていませんとは、どこにも書いてないように思います。

まず、6歳さんは、心配ありません。ロンドン内の交通機関は、チューブもバスも10歳以下の子供はただです。（地方へ出るいわゆる長距離電車は、会社によって規定が異なります）お母さんは、おっしゃるようにクレジットカードが一番便利と思います。
11歳さんからは、本来ですとチューブは有料です。（バスは中学生まで無料）
ただ、6歳さんがおられるので、親子三人で移動されていると、子供連れ用のゲート（どこの駅にも必ず一つあります。荷物の大きい人もここ）を、お母さんがピッとカードを切って開いたところを、三人でいっしょにくぐることになりますから、お兄ちゃんだけがそこでとがめられるということは、実際問題として、まずないと思います。（ただ11歳さんが、すっごく大きくて、だれがみても子供には見えないようなおにいちゃんでしたら別ですが。デンマークのハーフちゃんでしたら、そういうこともあるかな？でも、だれもチェックしてる人はいません。それだけのマンパワーがLondon Transportにはない！）
どうしても正直に払いたいということでしたら、お兄ちゃんだけ子供用の One Dayパスを買われてはいかがでしょうか？

大抵は日本と変わらぬ気持ちのよい秋の気候です。でもイギリスは一日のうちに四季があるともいわれるように、どんな天候の変化があるかわかりませんから、油断は禁物です。一番よいのは、おっしゃるように、軽めのダウンを重ね着できるようにしておくことでしょう。真冬の恰好はいりません、ロンドンは街ですから、田舎歩きと違って、天気が悪くなったら暖かく過ごせる屋内はいっぱいあります。軽い折り畳み傘も忘れずに。楽しい滞在を！

初めてのイギリス、楽しみですね。

10月末から11月初めの服装ということですが、天気はまずどんな天気もあり得ます。
これは一年を通じてイギリスでは言えることですが、この季節はとくにそうです。
観光バスでまわられるのか、ご自分の足でまわられるのかにもよりますが、寒くなることを覚悟して重ね着できるものを持っていかれることをお勧めします。
荷物をバスに置いていけるなら、冬用のコートと暖かかった時用の薄目のダウンかなにか、一人で全部持ち歩くのなら、ダウンの重ね着がお勧め。それから雨具は必須です。土砂降りは珍しいですが、しとしとはしょっちゅうです。こっちの人はめったに傘はさしませんが、日本の方は折り畳み傘がいいでしょう。コートが防水になっているものだともっといいですね。
早く暗くなる季節ですので、小さい懐中電灯（バッグにいれられるサイズの小さくて明るいもの）を持っていかれるとなにかと便利です。あと履きなれた靴ですね。田舎道を歩かれる予定なら、防水になっている靴がいいかも。日によっては手袋もいります。小さくなるワンサイズののびのび手袋でいいと思います。

楽しんできてください。