日本からの直行便であれぱ、博物館関連は、4時頃に大方閉館になるのでほぼ観覧は難しいかと思います。
行けるとすれば、以下の様な所でしょうか。
ホーチミン廟(外観のみ)
水上人形劇
ホアンキエム湖
旧市街のナイトマーケット
等
参考までに

仰る通り、安全なのはタクシーですね。
ホテルの人に相談してタクシーを止める場所をホテルの人に指定してもらえば安心でしょう。

シクロは、旧市街にいっぱいいますが、ベトナム語もしくは英語での交渉が必要です。また、ぼられる可能性も高いので、安全なのは現地ツアー会社に頼む事が最も無難かと。
ググると、１５万ドン位～２０万ドン位のようですが、相場がわかってないとみると、ドルでの要求してきたり、チップを要求したりするので、ご注意を。

Hanoiオペラハウスでは、ベトナム国立交響楽団の定期演奏会が行われますが、11月は28日に開催される予定です。

チケットは、お土産屋さんのスターロータスさん、現地ツアー会社のスケッチトラベルさんなどで取り扱ってます。
指揮者は、本名さんという日本人の方が行っております。

エスニック料理といってもいろいろありますので、一概には何とも・・・。
ハノイでは、最近ローカルレストランでも、衛生的にまともなところも多いですよ。

よっぽど、どローカルなところや、変わった食べ物(例えば、虫関連とかネズミとか。。。）で食べない限りは、概ね大丈夫だと思います。
ベトナム料理は、大概煮るなり焼くなり蒸すなりの熱を加えた料理が多いですよ～。
ただし、氷や水(ミネラルウォーターではないもの)などで、細菌性腸炎などにかかる場合がありますので、ご注意を。

各現地旅行会社でも、プライベートツアーを取り扱っているので、相談してみてはどうでしょう。
プライベートな分、ちょっと割高ですが。。。
日本語ガイドも付けられるものもあるようですので、ググってみてください。

ネットであれば、SIMカードと10万ドンくらいのプリペイドカードを買っておけば概ね大丈夫かと思います。

ベトナムはWifiフリー天国ですので、そこら辺のカフェ、レストラン、ホテル(高級ホテルは別ですが)では、ほとんどWifiフリーです。パスワードも気軽に教えてくれますので、路上でなければそんなに不便はないかも。
一部のタクシー業者は、Wifiも使えたり、市バスの一部もWifi使えたりします。

ハノイ市内であれば、にわか雨(ゲリラ豪雨的なスコールの場合もあり)が多いでしょうか。
ハロン湾であれば、現時点(8/27現在)台風はまだ来ていないので、大丈夫かと思いますが、1日ツアーであれば、海に入ることがなければ鍾乳洞関連の見学で終了となりますので、恐らく大丈夫かと思います。(ただし、階段が滑りやすいのでご注意ください)

ハロン湾を行くのを取りやめるのであれば、旧市街のカフェ巡りとか。
といっても、ハノイ市内も意外と狭いので、結構サクサクと回れてしまうのでいまいちですが。。。。(笑)
ご参考になれば。

2か月程度なら、日本の海外旅行保険に入ったほうがいいかと思います。
キャッシュレスが多いですし、手続きが面倒でなくて便利です。
あとは、クレジットカードに付帯されている保険も使うことができるのでは？
ただし、本人だけとか、そのクレジットカードで支払う必要があるとか条件があるかと思いますので、カード約款をご確認いただければと思います。

1年となると、こちらの現地保険も加入する選択が出てくるかと思いますが、基本的にキャッシュレスではありませんし、いったん支払って、そのあと書類を提出し、返金されるシステムなので手続きが面倒かもしれません。

キャッシュレスタイプもあるはありますが、キャッシュレスになる為に待機期間があったり、医療サービス会員になる必要があったりと条件がある場合がありますので、ご確認ください。