１、Mercer Island からUWはダウンタウンを通って（高速道路９０から高速道路５に乗る）行くため、混んでいます。３０分から１時間くらいかかると思ったほうがいいと思います。Mercer Islandはベットタウンというか良いコミュニティーですが、住宅街以外あんまり何もありませんし、９０を使わないとどこへも行かれません。
Bellevueも５２０か９０を使ってくることになりますが、渋滞すると思います。ただ、５２０は有料道路なのでそれなりに空いています。ただ、通勤時間は混んでいますが、９０ほどではないです。

２、シアトルサイドとイーストサイドですが、シアトルでもいろいろな場所があります。お子様の年齢、そしてどういう環境をご希望かによると思います。学校が公立に行かせるつもりでしたら、全般的にはイーストサイドの方が良いでしょう。
何を求めておられるかによって違うので、一概には言えませんが。

３、シアトル市内でしたら、Lauralhurst, Greenlake, Wedgewood, View Ridgeなどは橋を渡らずに通勤もできますし、安全と言われている場所です。
Montlakeも大学まで徒歩で行かれる場所でなかなかいいですよ。小学校も最近建て替えられてとてもいいです。

良い場所が見つかりますように。

場所的に色々なところに徒歩で行かれるのは、Mayflower Park Hotel だと思います。上の階はフードコートに直結していますし、パイクプレイスマーケットへの徒歩、シアトルセンターのモノレールの入り口も直結していますし、アマゾン本社のスフィアにも歩いて行かれる距離です。
ダウンタウンでしたら、そこがいいのではないかと思います。

ブランチというのはフォーマルなものをお考えでしょうか。
Lotte Hotel のCharlotte Restaurant は景色も良くて素晴らしいと聞きました。（私は体験していませんが）https://www.charlotterestaurantseattle.com　予約が必要だと思いますので、お問い合わせしてみてはどうでしょうか。味だけでしたら、Tilikum Place Cafe https://www.tilikumplacecafe.comが人気です。要予約です。

シアトルタコマには国際線で到着されるとお察しします。
この空港は外に出てから反対側の駐車場の建物で全てシャトルバスなども出ています。
空港のその建物からスカイブリッジという反対側の建物に行き（Ground Transportationとはっきり標識がありますので、エスカレーター、エレベーターで上に上がって、スカイブリッジ橋を渡ってください）そして、エレベーターまたはエスカレーターで３階に行って（Ground Transportation)
のIsland ２Aにあるはずです。
良い旅を。
Bellevue Airport Shuttle https://www.visitbellevuewa.com/listing/bellevue-airport-shuttle/2753/

Woodinville はワイナリーで有名です。どこに宿泊されているかわかりませんが、そんなに遠くないので行かれると思いますよ。Seattle 市内からはルーズベルト駅からバスに乗れます。(BusターミナルBay 3停留所で、５２２番のバスでWoodinville行きに乗ってください。
もしもWoodinville自体でどこか回る場合、そこに着いてからウーバーがいいかもしれません。
もちろん、シアトルからずっとウーバーも可能ですが。

市内でも週末は所謂ワイナリーと呼ばれるところはたくさん開いているようですが、Woodinville のワインは有名で、best wineries near seattleで検索するとたくさん出てきます。

さて、食事ですが、和食ですが、高級寿司などでしたらShiro Sushi（予約要）（Belltown) https://shiros.com、とんかつはKobuta and Ookami（ここは予約はできないので行くしかありません）https://www.kobutaandookami.com (Capitol Hill にあります）
またジャパンタウンにおむすび屋さんのonibabaもあります。https://www.onibabaseattle.com

シアトルでの息子さんとの時間、そしてご自分のお時間が有意義なものになりますように。

落としたのがバスの車内、またはベルビュースクエアの中でしたらもしかしたらバス会社、にLost and Foundという落とし物などを取り扱う課があるのですが、普通のバス（高速バスでないもの）は車内でもあまり取り扱っていないようです。https://www.soundtransit.org/help-contacts/lost-found
ベルビュースクエアの方に連絡しても良いかもしれませんが、バス停となると公共の道となりベルスクには多分関係ないとなってしまうと思います。
https://bellevuecollection.com/contact-us/
日本と違い、落としてしまった場合にはそれが戻ってくるということは残念ながらほとんどあり得ないと思います。
実際に足を運んで確認するのが一番ですが、あれからかなり長い間雨も降っていますからどうなったか。もし誰かが拾ったとしても届ける場所というのが明確ではありません。どなたか協力してできる方がいらっしゃるといいのですが。

先程お問い合わせされていた方ではないかと思うのですが（そちらには回答させていただきました）、『車で』と限定すると難しいかもしれません。要所要所車を使うことは可能ですが、パイクプレイスは現在車が入りにくくなっているので、「車」とおっしゃられた場合にはご希望の場所のご案内は大変かもしれません。

シアトルの丘にお墓があるのはブルース・リーです。
スティーヴ・マックイーンの遺灰は太平洋に撒かれたのでは？

大変ですね。
振替輸送があるようですが、本数が少なく、３０分に１本と書いてありました。
混んでいると思いますが、もしそれを選択される場合は、Sodoで降りたら、
- to Lynnwoodのバスに: SODO Busway & S Lander Stで乗ってください。
そして、次のスタジアムで下車になります。帰りはスタジアムでのバスは、
- to Angle Lakeのバスに 6th Ave & S Royal Brougham Wayで乗ってください。

他の選択枠としては、SeaTac AirportからDungeness Line https://dungeness-line.comで、アムトラックのKing Street Stationに行くのがいいかもしれません。あまり本数がないのですが、振替輸送よりは確実です。ただ予約が必要だと思います。

それもダメなら、タクシーやウーバーです。

それから、Flix Busもあります。

大きなイベントですから輸送バスが増えて出るのではないかと思うのですが、わかりません。

これは、Bellevue Square のスタバです。住所は10214 NE 8th St, Bellevue, WA 98004です。
シアトル市内ではスタバよりもローカルなコーヒーショップの方が流行っています。素敵なスタバといえば、やはりStarbucks Rosteryでしょうかね。
https://www.starbucksreserve.com/locations/seattle-roastery

シアトルで暑くなるのはせいぜい１週間から１０日です。セントラルヒーティングでエアコンがある家というのは珍しいです。
大変暑がりの方でなければ、窓を開けたり、外へ行かれたり扇子やうちわでもあれば十分でしょう。多くの家の間取りは光を十分に取り込むように設計されているので暑くなることはありますが、耐えられないということはありませんし、外に行かれれば大丈夫でしょう。日向と日陰の温度差は激しいです。