「沢山の名所を回らず、限定したスポットだけを回る観光をしてみたい」ということですが、2日目は絶対に希望の場所すべては回れません。

初日は、飛行機の到着時間によりますが、8pmに観光に出発できるなら、マンハッタン内でしたら、エンパイア・ステイト・ビルなどの展望台の登り、ウルフガングなどのステーキハウスで食事し、タイムズスクエア十分時間があるはずです。
ブルックリン橋を渡った方からの眺めは、地下鉄かタクシーで行く必要があるので、もっと時間が必要です。またはタクシー利用ですね。

2日目の自由の女神の王冠入場は予約が必要です。現在まだ残っていますので、早く取らないとなくなります。混雑期は３ヶ月前に予約がなくなります。王冠入場でなくても自由の女神の台座入場でも半日くらい時間が消費されます。
自由の女神から近場のグランドゼロとワールド・トレード・センター展望でもう昼過ぎです。ゆっくりしていたらまた王冠入場の予約時間次第では、2pmとか3pmになります。
ヤンキース・スタジアム・ツアーも予約をお勧めします。
基本的に11:00 a.m. - 1:40 p.mの間に出発です。
混雑期は出発時間が前後に増えます。
この時期は増便はほとんどないでしょう。
自由の女神の王冠入場とスタジアム・ツアー同時はかなり厳しいですよ。王冠予約がこの時期は1pmで終わりです。
この時間にフェリー乗り場に行く必要があります。
スタジアム・ツアーに絶対参加するという場合は、こちらを先にして、11amとかの予約を取って、自由の女神に向かうという方法です。
サイトからスタジアム・ツアーの早い時間の予約を取って、それから王冠予約がいいです。その逆は時間的にかなりきついですが予約がそれしかない場合はトライして下さい。

自由の女神を遠目で眺めるだけでいいのなら、スタッテン島フェリーが24時間運行しているので、早朝でも夜でも利用できます。またはマンハッタン最南端のバッテリー・パークから見るとか、ワールド・トレード・センターからも眺められます。

イントレピッド博物館をどこに入れましょうか？
ワールド・トレード・センターは8pmまでなので、こちらは遅くできます。ただ6pmには夜景となります。

優先順位を決めて下さい。

スタジアム・ツアーを諦めれば、それ以外はなんとか可能ですが、ニューヨークに慣れている人と一緒じゃないと分刻みのスケジュールですので、ウロウロしているうちに時間がなくなります。

私は観光のプロですから、案内やチケット予約ですが、ホテル紹介や斡旋はしていません。王冠入場予約とスタジアム・ツアーの予約ならお取りしますよ。
同行案内に関しては、23日は空港お迎えや観光などできますが、24日から2月7日まで休暇ですのでできません。

100円でメトロポリタン美術館に入場できます。
また金曜日の7pm以降のホイットニー美術館、土曜日の6pm以降のグッゲンハイム美術館。近代美術館は金曜日の4pm以降無料です。他にも曜日により無料とか自分が望む料金で入場できる美術館、博物館がたくさんあります。

1000円
恋しくなっても日本のラーメンが食べられない・・・。
1500円くらいからですから・・・。
ベトナムのフォーはチャイナタウンへ行けば食べられます。
シェイクシャックのハンバーガー。
ベーグル、コーヒーとかスウィーツなどニューヨークで人気の食事もできますね。

10000円
馬車でセントラル・パークを巡る。
トランプ・タワーでトランプ・グッズを購入。

シビックプライドを感じる場所・・・。金融街ウォール・ストリートなどニューヨークを象徴するようなところは、観光客ばかりとなってしまうので、証券市場が終わった後の証券マンが通うバーとかどうですか？教会のミサもいいですね。
スポーツならバスケのニックス、アイス・ホッケーのレンジャーズで熱狂ですね。但し、定価では完売なので、再販でとても高くつきます。
街の動きは、ブルックリンのウィリアムズバーグからブッシュウィック、最近はグワナスを探って下さい。

自由の女神サイトから予約し、プリントアウトしたフェリー乗船券は正規のチケットです。当日手荷物検査のテントへの列に並んで下さい。
'RESERVE"と書かれた前売り券の列に並んで下さい。混雑期は当日券の列よりかなり空いています。閑散期は前売りも当日券も列に区別はありません。
チケットのバーコードを確認しての乗船です。

Uberアプリを利用したことがないので、わかりませんが、アプリだけで通話は全く必要ないと思います。

プリンストン大学のサイトには一般の営業時間以外に特別の日の営業時間については明記されていません。
通常、
元旦は休みの可能性は高いです。
大晦日は休みか時間短縮か

スクール・ショップは４軒もあります。
http://www.pustore.com/contact.aspx

ご確認下さい。

ニューヨーク大学のスケジュールは、
Friday Dec. 23 10am - 6pm
Saturday Dec. 24 11am - 4pm
Sunday Dec. 25 Closed
Mon. - Fri. Dec. 26 - 30 11am - 6pm
Saturday Dec. 31 11am - 4pm
Sunday Jan. 1 Closed
Mon. & Tue. Jan. 2 - 3 11am - 6pm

コロンビア大学は、
Mon 9am - 9pm
Tue 9am - 9pm
Wed 9am - 9pm
Thu 9am - 9pm
Fri 9am - 9pm
Sat 11am - 6pm
Sun 11am - 6pm
ですが、特に年末は出てません。
クリスマスと元旦は通常閉まっていると思います。
それ前後の日は時間短縮でないかな？

こちらには荷物預かり所はほとんどありません。コインロッカーすら珍しいです。
シティ・フィールド周辺では全く聞きません。
タクシー・スタンドでたくさんの車が待ってます。
メーター付きの黄色か緑に乗って下さい。
他の車は相場制のものですので、相場がわからないと損します。
その中にふっかけてくるのもありますので、要注意です。
ご希望でしたら、車で滞在先からシティ・フィールドへ。荷物を車内の置いて待機、野球観戦後に空港というサービスをしますよ。