狗不理包子は、以前王府井にありましたが、現在はないと思います。中国のグルメサイトの大衆点評で検索しても出てきません。
もともと狗不理包子は天津の有名店で北京では観光人向けという位置づけで北京の人の間では人気がありませんでした。王府井はコロナを境に屋台街などはなくなり、全く異なる場所となりました。
慶豊包子舗はチェーン店なので北京市内でも複数営業しています。

ご存知だと思いますが、中国でいう饅頭は具がない周りの生地だけのもの。包子は肉や野菜などを包んだものを言います。
一般的には中国の主食は南が米文化で北が小麦文化となり、その意味では北の地方が好んで饅頭や包子を食べています。

天津の狗不理包子は非常に有名ではあり、最近では日本にも出店していますが、中国人に聞いても、観光地の有名な包子というだけで味は正直不味いというのが定説です。私も食べたことがありますがあまり美味しいとは思いませんでした。だだし地域としては包子は有名な場所です。

個人的にはおすすめは上海の生煎と呼ばれる焼き小籠包ですね。最近では日本でも食べられるようにはなっていますが、熱々の生煎から出てくる出汁で口の中が火傷しそうになりながら食べるのは格別ですね。

購入できるかどうかは当日のチケットがあるかどうかによります。

現在、中国の観光地は基本全て実名認証が必要です。故宮についてはWechatの公式ページでは1週間程度前から予約が可能ですが昨日時点で土曜日のチケットは完売になっていました。
ウィークデーであればチケットの余裕があるようです。

また全人代開催の影響か最近北京の地下鉄の乗車券自動販売機も実名認証が必要になり、外国人パスポートは窓口での購入のみになっています（地下鉄アプリ使用は問題なし）。

チケットの確実な手配や移動などを考えると旅行社の手配の方がコストはかかりますが確実です。

大連は都市ですので普通にタクシーは使用できます。

但し空港等のタクシー乗り場からタクシーを使用することは簡単ですが、街中で流しのタクシーを捕まえることは難しいケースも多くなっています。

これは都市部になればなるほど顕著な傾向です。

なぜなら現在、中国ではDiDiといったタクシーアプリが主体になりつつあり、あらかじめ乗車場所（位置情報から自動取得）、行先を入力するとそれに対応したタクシーの運賃、グレードが表示され、タクシーが乗車場所に来てくれるということが一般的です。

支払いもアプリを通じてキャッシュレスで決済します。

中国で一般的なタクシーやタクシーアプリ使用において最も問題となるのが代金決済です。キャッシュレス化が進んでいる中国ではタクシーはWeChatペイが一般的。
タクシーアプリはWeChatペイやアリペイによる支払いが一般的です。

タクシーアプリはキャッシュレス決裁が必須ですし、一般的なタクシーは法律上は現金支払いを拒否できませんが、実際はつり銭などを持ち合わせていないといったトラブルが発生します。

WeChatペイは最近旅行者用にクレジットカードと紐づけが可能となりましたが、タクシー乗車で必要となる相手のQRコードを読み取って現金を支払う機能には対応していません。

アリペイもクレジットカードに紐づけが可能で、かつWeChatペイのクレジットカード紐づけと比較すると使い勝手はいいですが、一般的なタクシーではアリペイは対応していない場合が多いです。

出張時にキャッシュレスに対応できない状況であればタクシー乗車時に現金が使えるかどうかを確認してから乗車することが必要です。

車のチャーターは可能です。相場は大連市内(8時間)で700元〜800元、大連開発区内（8時間）で800〜900元といったところです。

ご指摘のとおり中国ではVPNがないと日本の一部のサイトは閲覧ができません。SNSも日本でメジャーなLINEなどは使用きません。
　まずVPNを中国内で使用することは合法ではありません。最近の反スパイ法の対応でもリスクがある行為としてVPN接続可能なスマホを持ち歩くことを日本側が挙げていますのでその辺は認識しておく必要があります。
　しかしながら中国で生活している外国人にとってはVPNは必需品であり、実態としては使用しているので不必要にセンシティブになる必要はないのかもしれません。
　また今現在使用可能なVPNでも規制が強化され、急に使用不可となるケースは発生します。3年程前は無料のVPNのアプリでも使用可能でしたが現在では使用できません。
　ご質問ですが、現時点ではセカイVPNは使用可能です。

PCR検査にらついては、4月29日より取扱が変わっています。
日本から中国への航空便搭乗の際には、（1）搭乗前48時間以内の抗原検査またはPCR検査を行い、（2）検査結果（陰性）を搭乗前に中国税関に申告（WeChatミニプログラム版「海関旅客指尖服務」、アプリ版「掌上海関」またはネット版 (https://htdecl.chinaport.gov.cn) のいずれかから）する必要があります。
抗原検査は医療機関における検査の他、自ら検査キットで行うことでもよいとされています。

ビザについては中国签証申請服務中心Chinese Visa Application Service Centerのホームページの「私は中国ビザの申請が必要でしょうか？」というページがありますのでそこで条件が確認できます。

ビザが必要でない場合でもそのための必要書類がありますので中国签証申請服務中心Chinese Visa Application Service Centerに問い合わせることをお勧めします。

結論から申し上げますとタクシーやバスでクレジットカードで決済することは難しいです。
現在、中国国民においてクレジットカードを保有する条件のハードルが高いこともあり、中国ではクレジットカードが一般的に使用されなくなっています。
もちろんホテルや一部のレストランやショッピングなどでは使用可能です。
 
現金決済もかなり少なくなっており、ウイチャットペイ（微信）、アリペイ（支付宝）のキャッシュレス決裁が一般的になっています。
それでも空港などのタクシー乗り場で乗るタクシーはウイチャットペイ（微信）の決裁が主流であり、アリペイ（支付宝）は対応していないケースも多いです。
 
しかしながらウイチャットペイ（微信）は中国の銀行口座を保有していない場合は決済機能が使用できないです。アリペイ（支付宝）はクレジットカードとリンクする機能がありますので決裁可能ですが前述したようにタクシー側が対応していないケースがあります。アリペイ（支付宝）はクレジットカードとリンクしていなくても中国に友人などがいれば現金をチャージすることが可能です。
 
現金は規程上は使用できますので、まず両替して現金を保有することが必要です。ただし現金決済が一般的ではない（私もここ数年現金を触ったことすらないです）ため、タクシー側がつり銭等を持ち合わせていないなどの理由で拒否される可能性があります。
いずれにしてもバスなどは現金を使用できるかを確認の上、チケット販売窓口で購入する。タクシーは乗車時に現金は使えるかを確認して乗車することが必要です。
 
タクシーで確実なのはタクシーアプリをダウンロードしてアリペイ（支付宝）をクレジットカードとリンクさせたものを支払手段として設定することです。但しタクシーアプリ登録には携帯電話番号（アプリによっては中国携帯）が必要であり、空港はタクシーアプリ利用のお客が多く、携帯電話で通話をしながら運転手と落ち合うことになりますので中国語がある程度できる必要があります。