はじめまして。台湾在住のアンジンと申します。
①2日目台北に戻ってから龍山寺に行こうと考えていますが、治安的にいかがでしょうか。
⇒龍山寺は、MRT駅の出口からすぐなので、参拝するだけならそこまで危なくないかと思います。
この前、夜9時前くらいに日本人の女の子が一人で弾き語りしていました。
あまり遅くなるなら、気を付けた方が良いです。

夜に訪れるなら、台北101とどちらがよいでしょう。
⇒どちらも捨てがたいですね。
　台北はコンパクトな街なので、両方いくのもいいと思います！

②3日目の午前中が空いています。どこかおすすめの観光スポットがあれば教えてください。
⇒故宮博物館はいかがでしょうか？
故宮博物館は、世界でここでしか見られないものが沢山あるので、
行く価値があると思います！
特に、象牙の玉が本当に凄いです！個人的には、モナ・リザ以上です。

以上、個人的な意見ですが、ご参考までに！

しん様

台湾在住のアンジンというものです。
娘様の行動力と熱意、大変素晴らしいと思います。
私は大学で初めて中国語を学び、そこから台湾にとことんハマり、交換留学、ワーホリ、国費での大学院留学を経験しました。

私にとって台湾華語を習得したことは、社会人となってからも、大きな強みとなっており、また若い時に、台湾の人々と触れ合った経験は、大きな財産であると感じております。
個人的な意見ですが、一週間のホームステイであれば、言語については、そこまで問題にはならないかと存じます。
(明るい性格をお待ちという事なので、話した分だけ成長につながると思います！)

敢えて懸念点もお伝えしておくと、バイクが多い、台湾独特の匂いがする、ゴキブリが多め(家によりますが)などなど、カルチャーショックを感じる事もあると思いますが、
信頼できるホストファミリーが見つかれば、きっと有意義なホームステイになるんじゃないかと存じます。
もし日本にいるうちに、台湾人となるべく沢山交流して、前知識を入れておくと、より充実したホームステイになるかと存じます。
私は、中学生の娘を持つ親ではないので、あまり無責任な事は言えませんが、少しでも参考になればと思い、返信させて頂きました！