お勧めのルートはどのように？

桃園空港から台北市内へはMRTが良いのでは無いでしょうか。
https://www.tymetro.com.tw/tymetro-new/jp/
MRTを乗りこなせば、台北市内も移動は楽ですね。それにバスに乗ることができればなお便利です。私はこのアプリを使っています。
iOS用：https://itunes.apple.com/tw/app//id967861325?mt=8
Android用：https://play.google.com/store/apps/details?id=hearsilent.busplus&hl=zh_TW

是非台湾旅行楽しんでください。

台北から基隆までの移動手段は決まっていますか？
また、基隆には宿泊されるのでしょうか？
それによって多少ルートプランは変わると思います。

ご年配の方とお子さんがご一緒とのことですから、市内の移動はバスよりもMRTが楽でしょうね（トイレ）

つまり、朝８時（実際には9時〜9時半でしょうか）の桃園空港から夕方３時ごろの基隆まで有効利用ですね。
空港から台北駅には10時半〜11時頃到着、基隆までは台北駅から台湾鉄道（列車内にトイレがあります）小１時間程度ですから、2時ごろ発つとして、３時間程度のご滞在とあれば、MRT中山駅の三越デパートにある鼎泰豊と春水堂ではいかがでしょう？
お荷物が大変であれば台北駅のMRT乗り場近くにコインロッカーがあります。

ご年配、お子様連れで公共交通機関で…とありますが、お荷物はどうされるのでしょう？ホテルまでずっと持って歩くのでしょうか？

なるほど！
いいなぁクルーズ船(๑´ㅂ`๑)
それでしたら、台北站まではMRT空港線で向かい(空港から50分ほど)、台北站をウロウロ散策しながら駅そばの點水樓(11:00〜オープンの小籠包屋さん)が良いかと思います。

駅周辺は薬局や、三越もありますから、なにか必要なものの買い出しもしやすいかと思います。

15:00 に基隆站でしょうか？クルーズならフェリーターミナルかな？
台北站から電車(火車)で1時間程かかりますので、台北站を13:30には出ねばならんと思います。

グーグル検索してだと
台北駅にいき、そこから電車。
空港からは2時間みたいでした。

人数が何人かいれば、
車のチャーターがよいですよ。
効率を考えると高くありません。
代理で予約しています。
よろしければ、わたしのプロフィール、サービス料金をご確認ください。
ご興味あれば、ご連絡ください。

基隆は留まらないのであれば、
空港、基隆、市内がよいと思います。
メンバ的にも遠いところは早くいって暗くなる前に帰ってきた方が安全です。

基隆の夜市などを目指すなら、先に市内、午後から基隆で一泊泊まってきてもよいと思います。以前個人的にこういう行程をとりました。
そのときは野柳、猫村もいきました。
基隆だけいって帰ってくるなら
その日は移動ばかりです。
参考までに。

お問い合わせありがとうございます。

ご年配の方とご一緒という事で、電車の長旅で
疲れてしまわないか少々気がかりではありますが...
また、お1人でなく複数の方とご一緒の移動なら、
公共交通機関を利用するより、タクシーの方が
効率良くまわれると思います。

もしご希望ありましたら、こちらでもチャーターを
受け付けておりますのでご連絡下さい。
―――――――
中山駅の近くにある、鼎泰豐三越店(ディンタイフォン)でお食事。
　　↓
地下鉄(MRT）で台大醫院まで行き、そこから徒歩で228公演の前に
あるバス停から、235、270番のバスに乗り、國泰醫院キャセイ病院で下車・

もしくは、台北駅からブルーラインの板南ラインで忠孝駅で下車
　　↓
徒歩数分で、有名な豆花のお店、東区粉円 Eastern Ice
　　↓
元来たMRTルートで、台北駅まで行く→台鐵で訳Ⅰ時間で基隆に到着。

忠孝復興駅まで行き、その後2回乗り換えグリーンラインに乗り換え→松山駅まで行く。
松山駅から駅直結の台鐵に乗り換え→基隆へ（ラオハー夜市付近）

結構バスもたくさん通っていて便利ですが、方向と番号を間違うと大変な事に
なるので、地下鉄の方が良いかもしれません。
ナナ

桃園機場(MRT空港線）⇒台北駅⇒台北駅(淡水信義線-赤ライン）乗り換えに7分ぐらい歩きます。
台北駅(淡水信義線-赤ライン）⇒東門駅：永康街という有名な商店街です。ここに鼎泰豊本店、マンゴかき氷、その他があります。空港からは1時間半かからずに到着します。11：00前に先に鼎泰豊の予約を入れておけばいいと思います。
マンゴかき氷：http://en.kingmango.com.tw/index.html　他にもありますので、ウェブでチェックしてください。
東門駅(中和新蘆線‐オレンジライン）⇒忠孝新生駅--乗り換え（板南森-ブルーライン）⇒市政府駅--徒歩1－2分⇒市府轉運站(Taipei City Hall Bus Station)--バス（ 福和客運 1551番または國光客運 1800 番）⇒基隆（渋滞なければ約30分）
市府轉運站は台北101ビルの近くなので、ここでぶらぶらするのもいいかもしれません。
なお、大きなお荷物があると大変かと思いますが、どうなのでしょうか。
以上ご参考に、google mapで確認してみてください。

少し逆算してご説明致します.基隆に行くのは、バスが一番便利です。MRTの圓山か
劍潭駅前から乗るのが最も簡単です。そして次は、鼎泰豊ですが、朝早く到着するので、早めの昼食だと長い列に並ばずに食べられるはずです。そこで、MRT中山駅前の三越の地下かMRT芝山駅前のsogo地下の鼎泰豊がお勧めです。両方とも１１時開店です。そして美味しいスイーツですが、どういったものか分からないので（ケーキっぽいものか、台湾っぽいものか）ちょっと推薦場所は分からないのですが、どちらの場所でも探せると思います。

こんにちわ！こんぺいと申します。基隆は台北から近いので交通手段も多いです。やはりバスがおすすめですかね。鼎泰豐を食べてから行きたいとなると，台北101の下のところが席が多くてお勧めです。なので大枠は

桃園空港(空港から出る電車)→台北駅(電車)→市政府駅→鼎泰豐→市政府駅(バス 2028号 所要約45分)→基隆

というのが良いのではないかと思います。桃園と基隆の 間は少し距離があるため，余裕を持つとこういうふうにこういう風にするとおすすめです！また何かありましたら！

トランジットの際に台北を観光なさりたいとのことですね。時間が限られていますので、車をチャーターして回られたほうがよいかと存じます。桃園空港から車で台北市内を観光し、最後は車で基隆港までお見送りしていただくのが一番良い方法かと存じます。（公共機関を使いませんが）チャーターの料金はタクシー（4人乗り）は8時間で4000台湾元、ワゴンだと5500台湾元になります。もし、ご必要なら手配致します。

桃園空港～台北駅(鉄道)台北駅～基隆(國光バス)
　　　 ( 40分 ) (1時間)
鼎泰豊は予約が出来ないので、順番待ちです。(早くて1時間)必要です。
スイーツ台北駅の2F、又は、南京西路新光三越百貨店の裏側に有ります。
観光されるのでしたらチャター車を利用下ほうが効率が言いと思います。
地下鉄、バス等乗り継ぎは時間が掛かります。

公共機関ですと、かなり余裕をもたれるべきかと思います。
空港に着い後、地下鉄(MRT)で台北市政府駅を目指し、市政府近くの鼎泰豊でお食事された後、市政府駅にあるバスターミナルから基隆へ向かわれるのが良いかと思われます。