空港から出ているシャトルバスっぽいのは確か無料だったと思います。
普通の一般道を走っているバスは有料です。自分は今のところ昭和のような古いバスしか乗ったことないので綺麗なバスの方は答えられませんが、古いバスだと運転手の他に集金する方が乗っているのでその人にどこまで行くのか伝えてお金を払います。
その時に行き場所に行かないバスに乗っている場合は次のバス停で降ろされます。
お金は取られません。
タイのバスはほんと初見殺しなので難易度高いです。
なので必ずナビを開きながらそこの方角に向かっているのか確認したほうがいいです。

預け入れの荷物に手荷物のノートPC入るのであれば入れたほうがいいかもしれません。ノートならおそらく大丈夫かもしれませんが…
僕はスーツケースにデスクトップPCとモニター入れて預け入れしましたけど何も税関かかりませんでした。

もしできるのであれば
現地の空港で滞在期間に合ったSIMカードを購入していただき、その後Grabというアプリを入れていただいて設定を済ませた後に配車をタップして行き先を入力すると近くのタクシーが来てくれます。
クレジットカード決済なので行き先までの支払いを自動で引き落とししてくれます。あとは乗るだけです。
ちなみにこのアプリはほぼ日本語対応しています。

こちらが難しければ空港でタクシー乗り場ありますのでそちらでターミナル21と伝えて現地まで行って現金でお支払いという形になります。緑色のタクシーがおすすめです。
タクシーだと40分くらいで着くと思います。おそらく550バーツくらいじゃないかなと思います。
日本円で2200円くらいですね。
ちなみにターミナル21の最寄りの駅はアソークです。

余談ですが、ターミナル21の5Fにあるフードコートはかなり安いです。
1食140円くらいで食べられます。
こちらは先にフードコート内にカウンターでプリペイドカードみたいなのを100バーツ分購入します。
そして食べたい物のところに行きかざすだけです。
帰国する時に残額あればまた同じカウンターに行けば残りを返金してもらえますのでご安心ください。

バスが1番安いですが、現地の人以外はかなり乗り方が難しいので電車かタクシーがいいですね。
行きたいところが駅から遠ければタクシーです。
車で30分かかるところまで500バーツくらいです。日本円で2千円です。
一応レンタカーもありますが、国際運転免許証が必要です。

ラビットカードという物があります。
駅員さんにラビットカードプリーズと言っていただき、確か100バーツ以上デポジットを払わないといけなかったと思います。