ウェブで確認しましたが、店舗情報がありませんでした。会社は台中にあります。
葛洛伯時有限公司：台中市南屯區向上路三段33號5F；メール：mkt@zuny.info；ウェブサイト：http://www.zuny.info。フェイスブック：https://www.facebook.com/zunydesign/

一応、mkt@zuny.infoへ問い合わせをしております。
回答がありましたら追加連絡差し上げます。

電話して確認しましたが、やっています。
所在地： No. 3, Beiping West Road, Zhongzheng District, Taipei City, 100
時間： 営業中 ⋅ 営業終了時間: 22:00
電話： 02 6632 8999#1141

「閉業」と出たのは、営業時間外の時間に見たからではないでしょうか。

1）2000元前後と思われます。
2）北投温泉　瀧乃湯・・・公衆浴場です。別府温泉の公衆浴場に似ています。MRT＋徒歩で行けます。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%80%A7%E4%B9%83%E6%B9%AF_(%E5%8F%B0%E6%B9%BE)
　そのほかにもレストラン+温泉がたくさんありますので、台湾旅行関連のウェブでご確認ください。

中国語のサイトですが、下記のようなのがありますのでご参考ください。
http://www.magicgold.com.tw/tjs/searchresult.php?page=1&sid=&zipid=103&cityid=1&areaid=N&s=3&fasts=&keyword=

台北市延平北路銀樓街、台北市衡陽路銀樓街というのが、以前銀楼が集まっていたところです。

喜寿、米寿、白寿等日本と同じように（というか、もともと中華圏から日本へ伝わった）祝う風習がありますが、都市部の一般家庭では特別な祝い方はあまり見たことがありません。正式な風俗としては自宅に「寿堂」を準備して、下の世代の者が「三跪九叩頭の礼」を行ったり、先祖へお祈りしたりするとありますが、今は家族がレストランを予約して、食事をして祝うというのが多いです。なお、レストランのメニューで誕生日祝いに出されるものとして、「壽桃」（桃の形をしたあんまん）http://linglingkitchen125.blogspot.com/2014/10/blog-post_25.html、「壽麵」(豚足の入った細い麺）https://blog.xuite.net/beer2352463/twblog/140626510-%E8%B1%AC%E8%85%B3%E5%A3%BD%E9%BA%B5%E7%B7%9A、があります。（事前予約必要と思います。）
提案としては、写真館で中国伝統の「壽袍」（誕生日祝いに着る服）を着た記念写真を撮ってはいかがでしょうか。
なお、車の手配はどこの観光地をどのように回るかで違ってきますので何とも言えません。ただ、車を丸抱えしてしまえば、ロス時間も少なく、便利で楽なのは確かです。
以上ご参考まで。

・台北駅⇒瑞芳(ルイファン): 瑞芳(ルイファン)へのバスは、台北駅からは出ていないので、ＴＲＡ（台鉄）が便利でしょう。
・十分⇒九份：十分⇒瑞芳(ルイファン):ＴＲＡ、瑞芳(ルイファン)⇒九份:バス となります。あとはタクシーのチャーターですね。
・悠遊カード：現金でのチャージのみ、沢山乗るなら悠遊カードを持っていたほうが便利ですよ。購入時に多めにチャージして使用、帰る直前に払い戻すか、または記念に持ち帰るなら、コンビニで買い物して残金を使い切る等がいいのでは（デポジットは戻りません）。またキャラクターものを調べましたが、デザインだけの違いなら特に高くなることはないようです。特別限定品（ケースとかとのセット）は価格が高いです。
以上ご参考に。

①「象山自然步道】の山頂から台北101周囲の夜景がきれいです。「象山自然步道　夜景」でチェック、年末カウントダウンの101の花火の時は、人であふれかえります。
②「貓空」の夜景もまずまずです。動物園からケーブルカーで上がります。お茶を飲みながら夜景を楽しみます。遅くなるとケーブルカーは運転終了するので、帰りはバスかタクシーとなります。
③「基隆港」の夜景もいいですね。「基隆中正公園」または「基隆地標」（ランドマーク）から眺めるのがいいでしょう
④夜景ではありませんが、「不厭婷」というスポットがかなりいいです。九份から６キロぐらいの場所です。バスはないので九份からタクシーとなります。
その他、陽明山、淡水等
ご参考までに

台北地下街の食べ物屋は9時ぐらいには閉まってしまうと思いますよ。台北駅周辺にも歩き回れば何かしら食べるところはあると思いますが、確実なのは
①寧夏夜市へ行く（12時近くまで店が開いているはずです。）
②日本人飲み屋街「林森北路---六條通」へいく、この辺りには遅くまで開いている店があります。
③長安東路の「熱炒」（台湾風居酒屋みたいな感じ）へ行く（こちらも12時過ぎまで開いています。）日本人飲み屋街「林森北路---六條通」からほど近いところです。

お酒を飲むのでなければ、
八方雲集(餃子屋チェーン）
永和豆漿(豆乳、台湾點心チェーン）
林森北路--長春路の店は遅くまで開いているはずです。Google Mapで確認してみてください。

101駅での淡水行き終電は0：02、象山行は0：56です。
https://www.metro.taipei/cp.aspx?n=5298D33851223B04

どこまで乗るのかわからないので回答できませんが、
初乗り：$70(1250mまで)、それ以降200m毎：$5、渋滞・信号待ち時間80秒毎：$5、夜間（23:00~06:00）追加料金：20元ですので、ご自分で計算してみてください。

ヨッチンさん
自分は車を運転するんで台北でUBERは使ったことがないんですが、登録してみたところ、
Uber アカウントの作成が必要で、有効なメール アドレスと電話番号がいります。携帯で確認用のUBERコードが受け取れないと、登録が完了できないので、たぶん無理ではないかと思います。
日本の携帯を台湾で使えるようにして、それで登録すれば、もしかしたら可能かもしれませんが、自分は試せないので分かりません。