シュロスホテル・クロンベルクのことでしょうか？
■Schlosshotel Kronberg
【住所】Hainstrasse 25, Kronberg Im Taunus, 61476, Germany
ここであればBolt(uberのような配車アプリ)で50ユーロくらいで行けるので車でいけないことはないですが、ホテルで無料シャトルがあるようですがこちらは問い合わせましたか？
https://www.tripadvisor.com/Hotel_Feature-g1063626-d202631-zft9157-Schlosshotel_Kronberg.html

それとも無料シャトルの時間にあわないのでしょうか？
時間にあわなくても一度ホテルに問い合わせるといいと思いますよ

初めてのヨーロッパ旅行で少しチャレンジなことをされるようですね。
結論だけいうなら5時間の間に市内への観光は無理です。
朝6時にフランクフルト着ということは飛行機到着の時間ですよね？
そうであれば早くてもフランクフルト空港を市内に向けて出発するのは到着30分後。
ドイツに入国する形ならば入国審査もありますし、もし機内預け入れのスーツケースを
受け取らなければいけないのであれば空港出発は到着1時間後だと思います。
そして次にローマに向けて出発の飛行機に乗るのであればチェックインや荷物預け入れはどうなっていますか？通常は２〜3時間前に空港に到着してないといけないというこれらの計算だけで
５－１（到着時に要する時間）ー２（11時から2時間前にフランクフルト空港に到着してないといけない＝残った時間2時間
フランクフルト空港から市内の中央駅まで電車で20分、また本数は30分起きくらいだったはずなので電車のチケットを買うことを考えたりいろいろホームを探したりすることを考えたら到着時に要する時間は1時間で済まない可能性が大きいです。そして機内預け入れのスーツケースをフランクフルトで受け取る必要がないとしても入国審査はありますからね。
他にも細かいいろんな点が気になりますが、長くなるので書くのはやめます。

また1月下旬はかなり寒いです。雪が降るときもあります。

伝わりましたでしょうか？
あと「テト休暇」と言われてもわかりませんでした。
調べてみて、内容と関係ないようなのでテト休暇って書かなくてもよかったと思いますよ。

クレジットカードの件で回答した者です。
カードの回答をしてからこちらを拝見しました。

私の個人的意見で失礼します。
初めてのヨーロッパで観光ビザ期間をフルに使って一人旅はなかなか厳しいと思います。
（しかも英語圏じゃないとこですよね）
またどういった目線（とりあえず首都だけでもめぐりたい・各地の有名建築を見たいなど）で旅行したいか伝えたほうがいいと思います。

①電車のユーレールパスですよね？
国も多いですし、ただ治安が悪いところと聞かれても答えづらいです。

②各国の観光庁や大使館のHPを確認してください。
入国に関してはシェンゲン協定があれば事前の手続きは不要なはずです。

③各国の首都だけではあれば日本の楽天市場などで検索しておすすめのでいいと思います。
ただ地方に行くと電波が入りづらいのでどこでもOK的なものをお勧めするは難しいと思います。

ドイツ・デンマーク・スペインに行くことことですが
観光客が多い観光地・都市であれば、メジャーなクレジットカードがレストラン・ホテル・スーパーで使えます。
あまり観光客がいかないニッチなところや
ホテルじゃなくてホステルや小さい宿、レストランでなく安めのカフェ・小さい商店だとクレジットカードは厳しいと思います。

あとドイツ・デンマーク・スペイン『など』ということでこの『など』も気になります。

現地で使うクレジットカードは確かに現地に住む人に聞いたらいいかもしれませんが
クレジットカードのおすすめの種類ではなく
『保険自動付帯』『現金を引き出せる』などは日本でのカード会社の加入利点なので
現地の人に聞いても『？』ではないでしょうか。

ただ言えるのはヨーロッパの国によっては
クレジットカードよりデビットカードが主流の場所もあるので
デビット機能がついているほうがいいと思いますし
JCBは日本のクレジットカードなので海外で提携してないところもあります。
私だったら、複数の国に行くということなのでデビット機能がついてて
クレジットカードはJCB以外でVISAやMasterなど2種類は持って行きます。
もちろん現金も両替して持って行きます。

ご希望の答えじゃないかもしれませんが
質問からの情報ではこの答えです。

レストランやカフェの多くはペットの犬も同伴可能ですがデパートでは見たことがありません。
交通機関も小さい犬であれば、
籠（？）みたいな簡易ケージにいれたりして移動している人を見ます。
ドイツ全般、犬同伴に優しいと思いますが、犬のサイズにもよると思います。

フランクフルト中央駅からクラインマルクトハレ市場であれば地下鉄が一番便利です。
クラインマルクトハレの最寄り駅、Hauptwache駅付近にはトラムがないからです。
地下鉄でもSバーンでも大丈夫ですが、地下鉄がわかりやすいし早いです。
それともトラムに乗りたいということでしょうか？

手続きの必要はないと思います。
海外赴任であれば日通など海外引越を会社を通して頼んでいることがほとんどだと思いますが
その際に案内があるはずです。
航空会社のサービスである赴任パックを利用とあるので全部自分で
引っ越し手配をしているのでしょうか？
その際も航空会社から案内があるはずですが。