家族4人で荷物もあると考えた場合、空港から淡水まではタクシーが良いと思います
空港でワゴンタイプのタクシーに乗れば問題ありません
タクシー乗り場には係員がいるので淡水に行きたいと伝えてください
淡水までは市内を通らず海側の道を八里経由で行くので約40分程度と思います
費用はNT1,000～1,200前後でしょう

九份老街の営業時間は平日は午後7時、金土日は午後10時の様です
到着日が週末ならタクシーで空港を4時半に出発、6時～6時半ごろ到着できれば観光が可能かと思います
但し夕方の帰宅時間帯にさしかかる頃なので平日到着の場合は観光時間が取れないのでお勧めできません
台北市内または近郊の観光地が安全でしょう
宿泊を台北駅周辺にしておけば朝6時から空港行きのMRTが利用できます
台北から空港まで約30分なので11時の飛行機なら7時半ごろの快速に乗れば8時ごろ到着できます

市内のどのエリアに宿泊されるのかが不明ですので、お店が特定できませんが、いくつか思い当たる所を下記します

１）台湾のお粥レストラン　中国語では清粥と言います　おかずはカウンターに並んでいるので自分で好きなものを選べます　卵焼きや野菜、肉や魚もありメニューを見なくても注文できるので良いかもしれません　お粥はご飯だけのお粥と芋の入ったお粥が有ります
ホテルのフロントに附近の清粥レストランを調べてもらえば良いと思います

お粥レストラン以外にも”自助餐廳”というセルフサービスのレストランが沢山有ります
こちらもテーブルに並んでいるおかずを選べます　　料金は取った食材の量り売りです

２）ショッピングセンター、百貨店のフードコート
市内にはそごう、高島屋、三越などの日系の百貨店の他、台北駅地下街や地元の百貨店があり、地下にフードコートが有ります　　地元の料理や日系のレストランが入っているので好きなメニューを探すことができます

３）水餃子
水餃子は牛肉麺店や小菜麺店などで食べることができます

以上、参考にしてください

マスクについては公共の交通機関、百貨店、スーパーなど、密になるところでは７～８割くらいマスクをしています
なお台湾で病院に行く際はマスクを着用しなければなりません

外出時は基本マスクの必要は有りません
特に人の多いところで無ければ着用する必要は無いと思います

そもそも日系の台湾角川から日本に商品を送る需要はないので仕組みがないと思います
一番簡単な方法は現地の知人に購入してもらい日本に郵送する方法です
台湾の商品なら日本に送る代行サービスがあるかもしれませんがあまり聞いたことはありません
サイトで調べてみてください

台湾の状況についてご回答します
簡単に言えば台湾全地域とも通常の生活をしています
公共の交通機関(地下鉄、バス等)、デパート、病院などではマスクの使用が要求されますが、それ以外は特に制約は有りません
学校は通常の授業を行っています　　　海外に行けないので、国内の観光地は大賑いです
レストラン、居酒屋等の三密に関しても特に注意喚起は有りませんので、自由に飲食ができます　　
昨日は日本から帰国した女性が1名感染確認されましたが、今日はコロナ発生者はゼロでした
コロナに関して言えば、世界で最も安全な国と思います
現在日本から渡航される場合は2週間の隔離が義務付けられています
隔離に関しては日本より厳しい規定が有りますので、自由に行動はできません
日本の状況が改善すれば隔離期間の短縮もあると思いますが、現状では難しいと思います
但し11月~12月なら改善する可能性は有ると思います
隔離期間が終われば、全く通常の生活ができますので特に問題は有りません