お買い物街中ならクウィーンズストリート周辺、もうちょっと離れてニューマーケットもいろいろお店は入っています。私は家が近いのでもっぱらニューマーケットで買い物します。
ただこじんまりしているので、東京のような感じではないかな。あと入っているブランドもやはりNZやオーストラリアのブランドが多いと思います。結構日本には入っていないと思いますよ。
http://newmarket.co.nz/shopping/

観光するなら、フェリーでいけるワイヘキ島に行ってワイナリーでランチやピハビーチなどの絶景をみにいくのもいいと思います。ピハは車じゃないといけないのでツアーかレンタカーになりますが。。

パスタが好きなら、ぜひここの生パスタ試してください。おいしいですよ
http://pastaecuore.co.nz

フレンチマーケットでランチやウーバーですぐいけるミッションベイでランチもおすすめです。
http://www.lacigale.co.nz
https://www.missionbay.co.nz/placestogo/

NZではウーバーが安くて便利ですよ。

フェリーに乗ってワイヘキ島に行くか、車かツアーに参加してピハビーチとオークランドウェストのヴィンヤードに行くかって感じですね。

ワイヘキ島のマッドブリックっていうヴィンヤード、雰囲気とっても気に入っています。牡蠣はワイヘキでとれるローカルの牡蠣もたべれると思います。
すぐとなりにケーブルベイヴィンヤードもあって、歩ける距離ですよ。ケーブルベイのロゼが気に入っていて、最近のうちのテーブルワインです。
http://www.mudbrick.co.nz
https://cablebay.nz

ピハビーチやその周辺のビーチは結構絶景ですよ。車で１時間半くらいです。その途中にいくつもヴィンヤードが点在しています。ツアーもあるみたいです。
Kumeuくめうっていう地域なんですが、たくさんあります。
http://www.tourism.net.nz/region/auckland/auckland---piha-and-muriwai-beach/attractions-and-activities/wineries

キウィのワイン、多分お土産屋さんが早いかなと思います。

あとこちらの冬に来られる＆牡蠣が好きならブラフオイスターぜひ試してください。シャキシャキ、さっぱりしてる感じでちょっと違いますよ。

ヴィンヤードではないんですが、ここの生パスタ屋さんおいしいです。ワインももちろん揃っていますよ。
http://pastaecuore.co.nz

楽しい旅行になるといいですね。

学校ニューマッケトですよね。
ニューマーケットにはジャパンマーケットもあるし、チャイニーズマーケットもあるので調味料などの買い出しに行きます。ただこの国のジャパンマーケットって、お刺身や、野菜などは売っていなくて充実しているとはちょっと言えないかもです。結局近くのスーパーと、ちょっと値段の安い郊外にあるスーパー、そして時々ジャパンマートに調味料などの買い出しに行くっていう感じです。お嬢さんが現在、もしくは将来一人で通われるなら学校の近くのバス停に乗り換えなしの場所がいいですよね。うちの子もその辺りの学校に通っていて、うちもそう思って、今はレミュエラ通り沿いの家に住んでいます。バスで１０分くらいです。今はグーグルで検索できるので決める前に一度見てみるといいと思いますよ。うちも去年引っ越してきたばかりなので、とりあえず学校の近くで決めました。でも住んでみて、オークランドはラッシュ時の渋滞がひどいですが、車を運転するなら正直どこでもいい気もします。ただエリアによって、治安だったり街並みがちょっとちがうな、と思います。一軒家ばかりで、庭のない家も少ないと思いますし、逆に家族で住めるサイズのアパートを探すほうが難しいです。うちもまず借りたんですが、予算と希望にあう家のチョイスがあんまりありませんでした。素敵な家が見つかるといいですね。

お天気がよければ電動自転車のレンタルがいいと思います。結構アップダウンがあるんで、電動がいいですよ。それ以外では一応バス、タクシーがいます。ワイヘキ好きです。

家族で旅行、いいですね！

うちも初めてニュージーランドに旅行したときは子供がまだ赤ちゃんの時でした。

オークランドのしないからすぐ行けるミッションベイというビーチの近くにケリータールトンという水族館があります。水族館にいってその後ビーチでのんびりしてもいいですし、ビーチの周りにはレストランがいろいろあるのでランチしてもいい雰囲気です。海沿いは散歩道が整備されています。
https://www.kellytarltons.co.nz/?nst=0&gclid=CjwKCAjwwPfVBRBiEiwAdkM0HSbt-nHqU-nD6z3dncm-efUkggPTEBHPB1fw7ym3bBnQIZOcsNNeTxoCLyIQAvD_BwE&gclsrc=aw.ds

オークランドの鉄道博物館、MOTATも小さいお子さん向けの施設です。
http://www.motat.org.nz

フレンチマーケット
http://www.lacigale.co.nz/french-market/

眺めのいい場所（お天気の良い日中がおすすめ）公園もあります。
ワントリーヒル
http://temp.aucklandcouncil.govt.nz/EN/parksfacilities/premierparks/Pages/onetreehill.aspx

眺めもまあまあ良くて、公園カフェもあるコーンウォールパーク
https://www.cornwallparkeateries.com

おすすめ手打ちパスタ
http://pastaecuore.co.nz

１日必要ですが、ピハビーチっていう絶景なビーチがあります。車で片道１時間半くらいです。
ツアーもいろいろ出ています。
https://www.viator.com/Auckland-attractions/Piha-Beach/d391-a11395

フェリーで４０分でいけるワイへキ島もいいです。素敵なワイナリーがいっぱいあってリゾートな雰囲気です。最近行って気に入っているのが下記のワイナリー
http://www.mudbrick.co.nz

日本食が食べたくなったら源太っていう居酒屋さんがあります。オーナーさんが日本人なので普通に居酒屋です。
http://www.genta.co.nz

オークランドには素敵なレストランがいくつもありますが、どこのレストランも赤ちゃん連れで大丈夫です。とはいえ、やはりマナーはあるので泣き始めたら外に連れて行くとかは必要だと思います。

移動はレンタカーを借りないのであればウーバーがおすすめです。アプリを入れておくと便利だと思います。

雨が降る時期なのですが、日本のようにザーッとは降りません。ほとんど霧のような細かいものが短時間降る感じです。ウォータープルーフのフード付きジャケットがあると便利です。

４月末だと秋なのでちょっと紅葉がみれますよ
http://naturenz.net/?p=3230

楽しい旅行になるといいですね。

5月中旬だと晩秋から冬です。こちらの冬は雨が多いのですが、一日中というわけではなく降ったり止んだりでその間に虹がよく見えます。
旅行するならオススメは夏なのでしょうが、雪山の景色を楽しむのなら5月も良いと思います。
その場合南島のクライストチャーチからバスや車でマウントクック、ワナカ湖を巡ってクイーンズタウンが良いのかなと思います。

食事はラム肉もシーフードもどこでもあります。移動手段は飛行機、車、バスのどれかです。
治安は悪くないと思います。運転する場合は気を付けてください。

今質問に気がつきました。もしかしたら既に回答が得られていると思いますが、
オークランドはウーバーが便利です。タクシーのように現在地を口頭で説明しなくてもいいのと平均５−６分でやって来ます。
アプリをダウンロードしておくといいと思います。

宿泊するホテルが決まっているなら、ホテルに頼んでおくのがベストだと思います。お夜食、最悪、ピザやマクドナルドなどのファーストフードのデリバリーはありますし、ガソリンスタンドに併設しているコンビニでパイやスナック、コーヒーなどは調達できます。

ちょっとそのシステムを利用したことがないのでわかりませんが、ホテルのシャトルがいるなら先に到着時間、名前、飛行機の便名を伝えて向かえを呼んでおく方がいいと思いますよ。夜中にバスを待つのも大変ですし。

電話はきっと使えると思いますが、電話の位置がオフィス内だと使えないと思います。

ちょっと朝は寒くなって来たけどいい気候です。良い旅になるといいですね。

CBDに滞在なら歩いていける範囲にカフェやレストラン沢山あります。カフェはどこでもあまりハズレはあまり無いと思います。

うちのダンナオススメのバーガー
http://www.thewhitelady.co.nz

マウントイーデンにある手打ちパスタ
http://www.pastaecuore.co.nz

眺めのいいコーンウォールパークにあるカフェ
https://www.cornwallparkeateries.com

CBDでお手頃なディナー。旅行者も多い。
http://www.lordnelson.co.nz
ここのラムケバブ?

CBDからなら道にシェア自転車が止まっているので使って見るのいいと思います。ミッションベイまで自転車ですぐです。

土日ならどこかでファーマーズマーケットがやっていると思います。

フェリーで49分でワイヘキ島にもいけます。ワイナリー素敵なところが多いです。
http://www.mudbrick.co.nz

ピハビーチもおススメ。ただ1時間半くらいかかります。1日ツアーで行けるとおもいます。

あとパーネルからオークランドズーは直行でいくバスはないので乗り換えですね。
バスが頻繁に来るわけではないと思うので、ちょっと忍耐力がいると思います。色々入れて1時間くらい？車なら10分です。Uber 便利ですよ。街自体は大きくはないので困った時のためにアプリ入れておいてもいいと思います。

昨日からちょっと秋っぽくなってきました。
楽しい旅になるといいですね。