Uberはまだ使えますよ。
その他だとViavanやKaptenでしょうか、
タクシーはいつでも捕まりますが、金・土の夜中や天候の悪い時はつかまりにくいです。
雨の時・ラッシュアワーは地下鉄をお勧めします。

はい、Uberが最もメジャーかと思います。
他にもViavanやkaptenなど色々アプリがあります。

カウントダウンは最寄エリアはチケット制です。
その他の川沿いの場所でも少しは見られますが、外は寒いしトイレもなかなかありません。みんなお酒やスナックを片手に2時間程度前から場所取りしています。
カウントダウンは中継されますので、TVで見るのが1番快適な見方かなと思います。

ロンドンのお食事のレベルと値段はだいたい比例すると思って頂いていいかと思いますが、パブのご飯はジャンクフードがお嫌いでなければお手頃で美味しいですよ。
閉まっているレストランも多いので営業時間や営業日にはご注意ください。
いくつかお手頃なところをあげておきます。

The Old Bank of England
194 Fleet St, Holborn, London EC4A 2LT
020 7430 2255
https://goo.gl/maps/JPfUBn4YzZ6i1dsEA

Princi
135 Wardour St, Soho, London W1F 0UT
020 7478 8888
https://goo.gl/maps/gNppNfcWrVmuaqmH6

Flat Iron
17-18 Henrietta St, Covent Garden, London WC2E 8QH
020 3019 4212
https://goo.gl/maps/G9tgBb5G8anqQzTi9

Jamon Jamon Soho
3 Caxton Walk, London WC2H 8PW
020 7836 6969
https://goo.gl/maps/zTrnKMuDLeTe8abC8

Pay as you goのSIMでは難しいかもしれません。
番号はもらえますので、国内の電話とデータであれば使えますよ。
国際電話はLINE電話やSkype callでデータ利用とクレジットでかけるとかなりお安いですよ。

フランス人の知人とフランス在住の日本人に聞いた話ですが、

パリ在住フランス人によると
ルペン氏がそんなに有名とは思わなかった。フランスより彼女はフランス以外の国で有名なようだ。と
彼女はもともとマクロン氏支持で、マクロン氏には銀行勤務の経験があるので労働者によりよい政治を行ってくれるのではと思っているそうです。

また、パリ在住日本人の話では
選挙の1週間前にテロと思われる警察官襲撃事件が起きた時は、これは大変だ、と思ったとのこと。
浮動票が一気にルペン氏に流れると思ったそうです。
フランスは移民で成り立っており、さらにパリは特に移民が多いので、ルペン氏が大統領になると、おそらく労働ビザが下りなくなることを心配していたようです。
さらに、EUに対する影響ですが、イギリスがEUを離脱した今、EUはドイツとフランスで持っているようなもので、フランスが離脱すると今度はドイツの財政が危なくなり、おそらくはEU自体が機能しなくなるであろうとのことでした。

マクロン氏当選により、デモも起こっているようですが、私の回りではマクロン氏でよかったのでは、という意見が大多数を占めています。

記事も載せておきます。

http://www.bbc.co.uk/news/world-europe-39870460?intlink_from_url=http://www.bbc.co.uk/news/topics/f671cc6e-8cdd-4351-90d1-fcc3bae18534/france-presidential-election-2017&link_location=live-reporting-story

http://www.telegraph.co.uk/news/2017/04/23/do-french-londoners-think-frances-presidential-election/

①ヒースローエクスプレスでパディントンまで15分程度、Paddington駅からRoyal Albert Hallまではタクシーを利用すれば15分程度で到着します。（地下鉄・バスを利用することも可能ですが、ややこしいのとハイドパーク周辺を回るのでタクシーの方が早いです）
国内線でもおそらく空港を出るまでに1時間はかかると思いますので、飛行機の遅れさえなければ開場時間には間に合うのではないでしょうか。

②バレエはロイヤルオペラハウスのバレエでしょうか？
それであれば空港から直接地下鉄ピカデリーラインに乗って頂き、コヴェントガーデン駅で下車してください。
1時間程度で到着しますので、開演には十分間に合うかと思います。

③Ritzホテルに19:30～のアフタヌーンティーのコースがあるのは存じ上げませんでした。
Ritzホテルはグリーンパーク駅が最寄です。
こちらも地下鉄ピカデリーラインですので、1時間程度で到着しますので間に合いますよ。

知り合いにアマチュアのカメラマンがいます。
日程によっては協力可能かと思いますので、ご相談頂ければと思います。

パリ区がどこのことかわかりかねますが・・・
一人ではおそらく1日では難しいと思います。
バスの乗り方は住まなければかなり厳しいと思いますし、地下鉄もわかりやすいとはいえ、初めての方が移動がスムーズに行えるものではないかと思います。さらに日曜日は地下鉄やオーバーグラウンドが運行していなかったり、ある区間だけメンテナンスのため運休、などということもかなりあります。
さらに、大英博物館は1日では見切れないほどの所蔵物がありますし、バッキンガム宮殿は公園に囲まれているので地下鉄の駅からのアクセスも徒歩10分程度要します

西の方から回るのであれば
ビッグ・ベン→ウエストミンスター寺院→バッキンガム宮殿→大英博物館→セント・ポール大聖堂→ロンドン塔→タワーブリッジ
東から回るのであればこの逆ルートでしょうか。

ガイドやプラン作成が必要であればご相談ください。