「周り切る」という事実優先でものすごく駆け足でまわれば可能かもしれません。ただ、実際にはそれぞれの場所で混んでいたり移動が思ったよりスムーズにいかなかったり、といった理由で難しくなる可能性もあります。なにより、それぞれの場所をしっかり見たいという希望があればかなり無理があります。Tower of Londonなどはじっくり見れば少なくとも半日かかると思いますし、ウェストミンスター寺院やセントポール寺院も余裕を持って見学するのであればそれなりに時間は必要です。その合間の休憩や食事を考えると、もっと余裕を持ったスケジュールにすることをお勧めします。

Tall Seatというのは床に固定されていない背の高い椅子です。ロイヤルオペラハウスのウェブサイトでチケットを取る際、それぞれの座席をクリックすると、そこからステージがどのように見えるか画面上で確認できます。

Restricted ViewやSemi-Restricted Viewとなっていない限り目の前に障害物はありませんが、Amphiteatreエリアの最後部分ではどうしてもステージとの距離が遠くなるので、その点は妥協せざるを得ません。1階席（Orchestra Stallsエリア）はステージからは近いですが、Amphiteatreエリアほど床の高低差がないので前に大柄な人が座ると見えにくくなる事はあるかもしれません。これについては質問者さん（のお子さんでしょうか？）の体格がわからないのと、前に座る人の体格はその場になってみないとわからないので何とも言えないです。埋もれてしまうことが気になるのなら（＆予算に余裕があるのなら）、Stalls CircleやGrand Tierレベルにした方が無難かもしれません。

私自身バレエやオペラが好きでロイヤルオペラハウスにはよく足を運びますが、ステージに近い席は高すぎて手が出ないのでいつもAmphiteatreの席を買います。大抵はお財布事情と相談でAmphiteatreの真ん中あたり（前後左右とも真ん中あたり）を買うことが殆どですが、オペラグラスを持参するのでステージからの距離はそれほど気にならないです。

楽しい観劇となりますように。

12月25日のクリスマス当日は全公共交通機関が完全に運休となります。毎年こうなるので、もし可能ならこの日の到着は避けるのが無難です。どうしてもこの日に到着してロンドン市内に移動したいのであれば、移動手段はタクシーだけです。でもこの日は値段がかなり高くなります。

私自身も過去に25日ヒースロー発のフライトを利用したことがありますが、24日のうちに空港周辺のホテル（ちなみにPremier Innを利用しました。ここが利用ターミナルに直結しており徒歩移動できたので）に移動して前泊しました。24・26日は本数は普段より少ないですが公共交通機関は動いています。

どうしても25日ロンドン着を変更できない場合は、このように空港ホテルで1泊するか、高額になりますがタクシーでロンドン中心部に移動するしかないでしょう。もし宿泊ホテルの送迎などがあればそれを利用するのもいいかもしれません。ヒースロー空港にはホテルは結構あるので、早いうちに部屋をおさえればそれほど高額にはならないと思います。

楽しいご旅行になりますように。

スト情報は事前に開示されることが多いですが、だいたい実施直前なので8月のスト情報はまだ出ていません。でもロンドン市内の移動でしたら、手段が全くなくなるという事は考えにくいです。動いている交通手段に人が集中する可能性が高いので、そこで長く待ったり混雑は考えられます。なので移動時間には多少影響がでるかと。ロンドン中心部だけの移動でしたら、いっそ歩いてしまった方がお散歩がわりで楽しいですし、激混みの交通機関に乗るよりずっと良いです。

起きてない段階であれこれ考え過ぎて心配しては何も計画できないので、他の方も仰るように、実際に起きたら対処する（ここで質問する、ネットで調べる、宿泊ホテルのフロントに聞く、等）しかないと思います。ツアー参加の場合はいざストとなったら主催者側が何かしらの対策を講じてくれるのでは？

私自身、去年イタリア旅行の際に出発前日に全国的な鉄道ストの発表があり慌てました（スト実施日に2都市間の電車移動を計画していたので）。結局、旅程を変更し移動日を1日前倒ししてストは回避しましたが、現地事情がわからない旅先でのストの心配は痛いほどわかります。現時点ではこれだけしか言えませんが、ストがなく無事旅行を終えられますように。

ホテルがどこかわからない＆移動経路がわからないのでザックリとした判断しかできませんが、ロンドン中心部の移動なら基本的に問題ないです。私自身、観劇などの後同じくらいかもっと遅い時間帯に公共交通機関を使って女一人で郊外まで帰宅することがありますが、身の危険を感じたことは一度もないです。酔っ払い等変な人はいるかもしれませんが、近づかなければ大丈夫です。

タッチ決済とオイスターでの運賃差は全くありません。
差があるとすれば「オンラインアカウントを作れるか作れないか」くらいでしょうか。旅行中の1日利用だけならタッチ決済で十分だと思います。

去年帰国した時にフライトでハードスーツケースに亀裂が入ってしまったので、ここで修理してもらいました。その後1度しか使っていないので耐久性については何とも言えませんが、今のところ大丈夫です。最寄り駅はLondon BridgeかBoroughです。

Tower Bridge Shoe & Luggage Repairs
111 Tower Bridge Rd, London SE1 4TW
+447494850926

ロンドン郊外でどこが良いか、というのはある程度検討をつけられた上の方が回答しやすいかと思います。例えば郊外でもウィンブルドンやリッチモンドの辺りは比較的裕福なエリアなので治安的には問題ないと思いますが、そのぶん滞在費も高くなると思います。住んでいる者の感覚で言えば、よほど治安が悪くて有名なエリア以外であれば、どこも最低限の注意をしてくればよほど運が悪くない限り危ない目には遭わないかと思います。

ホテルについては、1万円以下というと現在のレートで50ポンドくらいですが、その値段では正直難しいと思います。日本では東横インのようなビジネスホテルでも十分清潔で快適に過ごせますが、こちらは安かろう悪かろうというケースが多いです。そういった点をふまえて検討されることをお勧めします。

日本で事前に契約するにしても現地で契約するにしても、つながりやすさについては接続するネットワークの状態によりますが、観光客がいるロンドン中心部ではどこも大差ないです。なので、契約のしやすさや値段で決められれば良いと思います。

ガトウィックエクスプレスの場合、車内で検札があるのだと思います。なので同じ改札から入ってそのまま乗れるからといって、ガトウィックエクスプレスに乗ることは基本的にできないはずです（検札時に差額を払えば良いのかどうかは正直わかりません。ごめんなさい）。
ガトウィックエクスプレスのようなノンストップの特別列車でなければ、タッチ決済機能のあるクレジットカードで改札を通れますので、チケットを事前に買う必要はありません（座席指定をお望みなら別ですが）。ガトウィック空港の改札もタッチ決済機能のあるクレカで出れます。