すでにどなたかがお返事をされているかも知れませんが、ハイクレア城のパブリックオープンは3月下旬からで、それ以前はKinuさんが仰っている一人£140のガイド付きツアーのみで入場できます。

パブリックオープニングのカレンダーは以下にあるように、3月30日からです。

https://highclerecastleshop.co.uk/categories/spring-public-opening-2024

残念ながら、ご旅行の日程に合わないでしょうか。

市内のバスはコンタクトレス対応です。
オックスフォード駅のバス停R2からCity5に乗ってSt Aldatesで下車するとクライストチャーチがすぐです。
でも、バスがなかなか来ない時は駅から歩いても15分ほどです。

オックスフォード在住です。ここは大学街で研究者も多いので、若者だけではなく、比較的落ち着いた街だと思います。ただ、物価はかなり高いです。特に中心地は住居環境が限られているので、ロンドンより高いかも知れません。ホームステイは語学学校が斡旋してくれるのだと思いますが、余裕がある家庭はウクライナ人等の移民に住居や部屋を提供しているので、希少かも知れません。
市内にもミュージアムや劇場はありますが、ロンドン市内まで24時間バスが走っているので、ロンドンへのアクセスは、ケンブリッジ、ブライトンよりは確実にいいです。
車があれば、ブライトンの生活も楽しいと思います。
ケンブリッジはあまり詳しくありません。
それから、秋からいらっしゃるとなると日が短く暗い日々が延々と続くので、ちょっと気が滅入るかも知れません。できれば9月には渡英をお勧めします。