すでにどなたかがお返事をされているかも知れませんが、ハイクレア城のパブリックオープンは3月下旬からで、それ以前はKinuさんが仰っている一人£140のガイド付きツアーのみで入場できます。

パブリックオープニングのカレンダーは以下にあるように、3月30日からです。

https://highclerecastleshop.co.uk/categories/spring-public-opening-2024

残念ながら、ご旅行の日程に合わないでしょうか。

催行日は限られていますが、少人数で動物好きの方に人気な、こんなツアーがありますよ。

https://www.viator.com/ja-JP/tours/York/Yorkshire-Dales-and-Fountains-Abbey-small-group-tour-from-York/d5446-13131P4?mcid=42383&pid=P00082420&medium=api&api_version=2.0&target_lander=NONE&currency=JPY&campaign=%3Aab3d9c81-ffb5-4275-9d88-ec686b736f7d

オックスフォードの市内からブレナム宮殿までのバスは Stagecoach S3です。Oxford Rail stationだとバス停Stop R5から、平日は毎時3分と33分発の1時間に2本、週末は1時間に1本(毎時1分発)で、所要時間は30分です。
ロンドンからオックスフォードまで、バス(Oxford Tube)でいらっしゃるのであれば、City CentreのGeorge Street のバス停Stop B1(平日毎時8分・38分発、週末6分発) もしくはMagdalen Street のStop C4(平日毎時10分・40分発、週末8分発)から、Stagecoach S3 に乗ることができます。
オックスフォード市内からブレナム宮殿までタクシーやキャブを使う手もちろんありますが、平日は午後3時以降はどこも交通渋滞があるので、バス・タクシーとも、なかなか時間通りには行かないこともあります。
オックスフォードで何を観られるかにもよりますが、ブレナム宮殿も広大な敷地なので、それなりに見て回るのに時間がかかりますので、ロンドンから日帰りでとなると、ご両親にはちょっとキツいかも知れません。

最近現地に行った訳ではありませんが、イングランドは雨量が多くなると、あちこちで洪水被害のニュースを聞きますが、数ヶ月に渡って状況が改善しない地域は聞いたことはありません。
GoogleでStratford-upon-Avon Tourist Information Centreと検索すると、少なくとも普通にオープンしている様ですし、今年のイースター中に訪問した人や、もっと最近に行かれた方のレビューがあるくらいなので、現在のところ、普通に観光ができていると思います。

オックスフォード在住です。ここは大学街で研究者も多いので、若者だけではなく、比較的落ち着いた街だと思います。ただ、物価はかなり高いです。特に中心地は住居環境が限られているので、ロンドンより高いかも知れません。ホームステイは語学学校が斡旋してくれるのだと思いますが、余裕がある家庭はウクライナ人等の移民に住居や部屋を提供しているので、希少かも知れません。
市内にもミュージアムや劇場はありますが、ロンドン市内まで24時間バスが走っているので、ロンドンへのアクセスは、ケンブリッジ、ブライトンよりは確実にいいです。
車があれば、ブライトンの生活も楽しいと思います。
ケンブリッジはあまり詳しくありません。
それから、秋からいらっしゃるとなると日が短く暗い日々が延々と続くので、ちょっと気が滅入るかも知れません。できれば9月には渡英をお勧めします。

ロンドン在住のウェディングフォトグラファーの知人(日本人女性)がいます。
彼女のホームページは以下です。ご覧になって下さい。
https://takakodrew.com/