初めまして。
一時、中学～大学生への留学斡旋業をしておりました。
その際に幼稚園～高校、農業留学などの視察手配も担当しました。

いくつか質問させてください。

プレイセンターは幼児向けという理解で間違いないでしょうか。
もしも幼児向けという理解で正しければ、Nobuさんは日本にルーツのある子ども向け、または現地人向け（日本人も含む）のプレイセンターどちらの見学を希望なのでしょうか。
また、仕事として…ということは何ビザで入国予定ですか（この辺り、突っついてくる施設もあるかと思います）。

『日本にルーツのある子ども向け』の場合は、無犯罪証明書などの取得のみで、案外すんなり（日本人同士ということで）受け入れてもらえるかもしれませんが、
現地向けの場合はコネがないと厳しいかと思います。

NZでは乳幼児に関わる施設への部外者の見学が特に厳しく、受け入れてもらえる施設を探すのは大変だと思います。
Facebookの在NZ日本人コミュニティなどに働きかけて、自分の職業などを明かし、子どもを持つ親御さんや現地の幼稚園／プレイグループ／プランケットで働いている人を見つけ、その方のコネを使って見学のアポを取る方が確実かなと思います。

よい視察先が見つかるとよいですね。

こんにちは。
以下、何か参考になれば幸いです。

①小学校入学前のこの時期を子供と密に接したい、自然の中で伸び伸び過ごしたい。
→オークランドでしたら、自然の中で伸び伸びと…まではいかないかもしれません。
ニュージーランドの中ではまだ都会なほうですし、自然はありますが最低でも車で30分ほど山道を走らないと…ってこともあります。母子お二人ででしたら、オークランドよりも田舎のほうが伸び伸びと暮らせるかもしれません。例えばですが、コロマンデル、クライストチャーチなどなど。

②私が語学学校に通っている間、子供は現地の保育園に預けお互い英語の刺激を得たい、です。
何ビザでいらっしゃる予定でしょうか。語学学校の学生ビザの場合、お子さんの帯同も可能ですか？もしも旅行ビザだった場合は現地の幼稚園に預けることができないのでは…と思いますが…。
わたしの知り合いがシングルでこちらに渡航し、会社員を（労働ビザ保持）しながら子どもを保育園に預けていました。保育園（託児所など）は市内中心部にも数件あるようですので、自分が語学学校に行っている間に預ける…という選択肢は無きにしも非ずかと思いますが、ビザ問題が気になるところです。
もしも留学エージェントで対応していただけないようであれば、オークランド市内の語学学校に自身で問い合わせ（Ｏｒ　ロコさんで個人留学斡旋している方を見つける）し、ビザ問題を解決してから幼稚園に個人的に問い合わせてみるとよいかと思います。

Ｆａｃｅｂｏｏｋのニュージーランド移住コミュニティやＮＺ Ｄａｉｓｕｋｉというサイトなんかには、個人で留学斡旋業をしている方が書き込みをしていたりします。一度、どちらのサイトにも山さんのお悩みを投稿してみると何かしらの反応が得られるかもしれません。

よい手段がでてくることを願っています。

アパートはどの辺りでしょうか。もしも辺鄙なところ（か、市内中心部）でなければ、空港からの送迎はUberが便利だと思います。日本ではあまり馴染みがないので、敬遠される方もいますが、料金体系も予約前に示してくれるので比較的明瞭です。

NZではオンラインショッピングが便利で、必要な買い物はスーパーマーケットのサイトから購入、数日以内に自宅まで配送してくれます。コロナ後は自家用車がある人も、このオンラインショッピングを使うほど、かなり浸透してきています。アパートが市内中心部であれば、車やオンラインショッピングを利用するよりも、徒歩で買い出しをしたほうが利便性はよいと思います。市内中心部で車を停められるところが少ないためです。

Air BnB や　Booking.com で探してみましたか？
”Farm Stay NZ” とGoogle 検索すると、Booking.comのFarm Stay オプションがでてきます。

または、以下のルーラルツアーズから農業体験＋宿泊の予約もできたはずです。
https://www.ruraltours.co.nz/
ここは、有料だったと思いますが、宿泊＋近くの駅（高速バスの駅）まで送迎もしてくれたはずです。
わたしがお世話になったときは、日本人の予約担当者が働いていたと記憶していますが、
いまはちょっとわかりません。

ルーラルツアーズは日本人のツアーグループで利用される方も多いですし、
たしか、日本の農業大学と提携している農家もあったので、
比較的日本人にも親切なのでは…と思っています。

もし誰も送迎について名乗り出なかった場合ですが、
こちらにはウーバー(Uber)がありますので、日本よりはお手軽に車をハイヤーできます。
ウーバーのアプリをダウンロードし、カード情報などを入れればすぐ使えます。
たぶん撮影機材などがあるから車をハイヤーされたいのかなとお見受けします。バスは日本のものより大型なので、もし手荷物程度でしたら、バスもお安くていいかなと思います。

オークランド在住です。
オークランドってニュージーランド第2の都市だけれど、日本でいう大阪みたいなものじゃなく、下町の商店街がある地域、レベルでなにもないです。
もし一週間まるまるオークランドをお考えなのでしたら、レンタカーを借りて少し離れたところにも行ってみてはどうでしょうか。離れたところなら、ピハビーチ、シェイクスピアビーチ、ロトルア、パエロア→カランガハケなんてところを日程に入れ、日帰り旅行もいいかなと思います。車でだと1時間以上はかかりますが、大自然を満喫できるかなと思います。
もし一週間オークランドではなく、ほかも・・ということでしたら、ニュージーランドの首都、ウェリントンに少し寄られてもいいかなと思います。街中も綺麗です。
参考までにオークランドの観光地を・・
オークランドワーミュージアム、ケリータータンズ水族館、オークランド動物園、モータート(乗り物博物館)、少し離れていますが、ロードオブザリングのロケ地などがあります。

どこのホテルかにもよるかと思います。
ホテル名をあげれば、もしかしたら近くの方が名乗り出てくれるかもしれませんね。
ただ、ニュージーランドは外食が高めなので、持ち帰りにして届けてもらうくらいならホテルのルームサービスのほうが味よしで明瞭会計でいいかもしれません。