1日ではかなり厳しいのではないかと思います。

ご希望の2カ所を1日で周るのは、不可能とまでは言いませんが、かなり忙しくなってしまうので難しいと思います。

まず青の洞窟ですが、ナポリの駅から港までタクシーか地下鉄で15分〜20分、丁度良い船があれば島まで50分、島の港から洞窟前まで20分、洞窟に入るまで1時間〜2時間(混雑具合に拠ります)掛かります。大体の計算ですが、全て滞り無く進んだ場合の計算ですので、もう少し余裕を持たれた方が良いかと思います。そして綺麗な青を見たいのであれば午前中の日が高いうちの方が良いので、ローマをかなり早く発たなくてはなりません。帰りの船も、洞窟を見終わってすぐに乗れれば良いですが、そうとは限りません。
これは補足ですが、時期的に洞窟に入れない可能性が高いこともご承知ください。

ポンペイに行くには港から再び中央駅に戻り、Circum Vesuviana(ヴェスーヴィオ周遊鉄道)に乗り40分、駅を出て直ぐに遺跡がありますがチケットを買うのに並ぶと30分〜1時間(駅を降りてすぐのところにファストチケットも売っています。入口で買うより少し高いですが。)、遺跡はかなり広いですし歩きにくいので、ゆっくり回って3〜4時間というところでしょうか。

カプリとポンペイの間にお昼ご飯も挟まれるでしょうし、日も短くなっていますのでポンペイを見られる時間は上記よりも短くなるかも知れません。

以上が、先にも書きました通り、全て滞り無く進んだ場合の予測です。イタリアでは日本のように交通機関がきっちりと運行されていませんし、色々な部分で大らかですので、予定通りには進まない前提でおられた方が良いと思います。絶対に無理とまでは言いませんが、2カ所を周るとなるとかなりキツキツになってしまうと思います。
参考になれば幸いです。

その時期ですと、お店は殆ど閉まっています。稀に開いているお店があっても、普段よりメニューが少なかったり値段を上げたりしていることもあります。4日になれば営業しだすお店もちらほら出てきます。ナポリの元旦は大音量の爆竹や花火が町中で炸裂し、発砲する人も稀にいます。だいたい何処かのゴミ箱は燃えますし、中々にハードなものですが、それをご承知の上で見てみたいと仰るのであれば、十分に気を付けてお越し下さい。Piazza del Plebiscitoでは毎年ステージが組まれ、カウントダウンイベントをやっていますので、そちらに行かれてみるのも良いかと思います。かなりの人混みですので貴重品には十分お気を付けください。

ナポリに於いては、最近はシトシトとした通り雨のようなものが多いです。傘を差すかどうか微妙なこともよくあります。気温は、朝晩割と冷えることも多いので、少し暖かめの服も用意するのが良いかもしれません。

Alberobelloから直接ではありませんが、Bariからならバスがありますよ。
http://autolinee.baltour.it/Orari-autobus/Bari/Vibo-Valentia/9/105/111-1.html

バスは発着時間もアバウトな上に停留所の場所も分かりにくかったりするので、言葉が理解できない状態で迷わず辿り着けるかは保証できません。到着時もアナウンスなど無いので、どうにかして運転手に、Vibo Valentiaで降りたいから教えてくれと伝えておく方が良いと思います。

10日分のご提案は厳しいのですが、行かれたことのない都市でしたらジェノヴァはいかがでしょうか。フォカッチャ発祥の地ですし、港町なので魚介も美味しいです。もちろんジェノヴェーセも。コストも然程かかりません。

私はナポリがホームですのでやはりナポリ贔屓になってしまうのですが、ナポリのコアなお店を探してみるのも面白いかもしれません。ピッツァもお店によって大きく違うので。

シチリアはどちらに行かれたのでしょう？シチリアも街によって微妙に食文化が違うのでそこを掘り下げてみてもいいのではないでしょうか。

サルデーニャも独特で美味しいものがあります。

今まで行かれたことがある都市でも、まだまだ隠れたグルメがあるかもしれませんよ。

イタリアのバスや電車は時間通りに来ることなどまず無く、特にバスは行先表示も無かったり、あっても非常に分かりにくかったり、バス停の場所も分かりにくかったりと、壁がいくつもあります。田舎に行くほどその傾向は顕著になります。言葉が出来ればその辺の人に聞けばいいのですが、そうでないなら安全面を考えてもガイドさんを雇われる方が良いと思います。

観光客の多い街の駅ではよくある光景ですね。ミラノの地下鉄なんかではよく見ます。
一番良いのは操作に慣れてもたつかないことなのですが、それを言っても仕方がないので、何か声をかけられたら冷たくあしらうことをお勧めします。そういう人たちは大体が移民系なので、ただの親切で近づいてきているのではないことは判ると思います。イタリア語が出来ないのでしたら英語でもいいですし、日本語でも構いません。とにかく拒否をしているんだということを伝えるのが重要です。Noの連呼でも構いません。ジェスチャーであっちへ行けと追い払うのもいいでしょう。相手は小銭稼ぎがしたいだけなので、命に関わるようなことはないと思います。そういう事件は聞いたことがないです。一つだけ気を付けて頂きたいのは、そいつに気を取られている間にスリの被害に遭わないようにすることです。一人が気を引いてもう一人がカバンから貴重品を取る、というのは彼らの常套手段ですので、それだけ気を付けて頂いて、毅然とした態度で断るのが最善ではないかと。

ビデオの件に関しましては、僕自身遭遇したことが無いので何とも言えないのですが、駅が撮影禁止だとは聞いたことがありません。そのタイミングで何か撮影されて困るものがそこにあったのではないかと推測されます。