G marketというショッピングサイトで見てみましたが、130,000ウォン前後から143,000ウォン程度と、アイルランドのVANの公式ページ55.25ユーロよりもかなり割高になっているような気がします。
ただオプションでサイズ9が表示されないので品切れなのかもしれません。
見た感じですと韓国でも外国から発送になるようで、時間が3週間ぐらいかかるとの表示があり、また韓国への関税、国際送料などもかかるのでかなり割高になる感じがします。

おそらく日本の韓国領事館（東京でしょうか。あるいは地方でしょうか？東京の場合だと扱いが多いのであまりトラブルはないのですが・・・）の担当官がよく知らないだけのような気がしますが、念のためｋｏｒｅａ　ｖｉｓａ　ｐｏｒｔａｌ（https://www.visa.go.kr）で確認したところ、規則上は可能なようです。

韓国の大学付属の韓国語の語学学校（延世大韓国語学堂など）やにまず入学のご予定であれば、ご本人のビザは大学付属語学院研修Ｄ－４－１が発給されます。で、同伴されるご家族には同伴Ｆ－３－１の対象となるはずです。コリアビザポータルには「文化芸術(D-1)から特定活動(E-7)までの滞留資格に該当する人の配偶者と未婚姻の未成年子女」が対象とちゃんと書いてあるので大丈夫だと思います！（https://www.visa.go.kr/openPage.do?MENU_ID=1010201　のページに韓国語ですが同伴Ｆ－３－１の適用範囲が書かれていますので、これを領事館の担当官に示せば大丈夫だとおもいます）
このほか専門大学（短大）、大学学部、大学院碩士（修士）、大学院博士、研究、交換留学も同じく大丈夫です。
以前、留学で配偶者やお子さんと一緒に留学の方もいらっしゃったので、大丈夫かと思います。

それと代行なんですが、韓国側で招へいする場合であればその所属機関の人間が入管に事前にやり取りをして入管からビザ発給証明書などをとることが可能なのですが、全く関係のない人間が入管に問い合わせ場合はせいぜい問い合わせ程度でおしまいとなり、確約までは実際のところ取れないというのが実情です。（以前、会社組織で他の種類の査証発給業務をしましたが、全く関係のない人の場合だとほとんど相手にしてくれないという状況でした。）

ひとまず、コリアビザポータルの情報をもとにもう一度、今度は同じ領事館領事部の窓口の担当官でも別の人に当たって、こういう説明がコリアビザポータルにあるんだが、子供にＦ－３が出るのはないか？と迫ってみるのがいいかと思います。

ソウルから往復でというのであれば、料金はかなりかかりますが可能ですが、地方都市からソウルへの片道という形ですとかなり大変かと思います。（おそらく可能でもカンヌンへの戻りの費用も請求される可能性があるかとおもいます。またソウル・首都圏であれば日本語可能なドライバーも結構いるのですが、地方だとかなり探すのが大変かとおもいます。）

仕事でよくいわゆる模範タクシー（デラックスタクシー）やジャンボタクシー、運転手付きレンタカーで日帰りでソウル―江原道（かなりソウル寄りのところ）を過去お願いしましたが、距離と時間にもよりますが３０万ウォンちょっと（目的地付近でいろいろ所用の場所を何ヵ所か回って・・・）かかった記憶があります。

泊りがけでという話になると、運転手の宿泊代やら食事代（日帰りでも運転手付レンタカーの場合かかったりすることも）、駐車料金など加算されたりとします。

また普通の市内の流しのタクシーはたまに女性運転手を見かけることがありますが、予約して利用するタクシーでは一度も女性の方に遭遇したことがないので、地方都市からソウルへ、ということになるとほとんど皆無に近いかとおもいます。

地方からソウルへということであれば、いろいろ言葉の問題でなかなか通じなかったり大変かとは思いますがバスや鉄道などをご利用される方が確実かとおもいます。