こんにちは。あまり詳しくはないのですが「親としては共感です」に共感しましたので。。。
転職してこの街に来た際に、似たようなことをしました。当初ウィークリーマンションのようなところに滞在し、仕事の合間に候補のアパートを探し、見学に行くという感じ。このやり方の問題点は、「合間に」と思っていると何週間も経っても決まらないという恐れがあります（そして割高なウィークリーマンションでの滞在が長くなると費用がどんどんかさんでいく）が、それよりも審査が気になりました。
普通のアパートは、SSNを持っていること、収入が十分あることなどの点を、管理会社がクレジットレポートなどを取り寄せて審査します。学生さんで、到着したてだと、なかなか通らないと思います。
なので、学校が斡旋しないとしても、「他の学生はどうやって探しているか」というのは聞いてみた方がよいのかなぁと思います。学生用の施設もあるとは聞いたことがありますので、そういう情報は事前に集めておくとよいかと思います。

空港から市内に行かれるならば、新しい開通したメトロ（シルバーライン）の方がよいのでは。

https://youthsociable.com/sitemap/all-cities-hotels/washington-dc/

このページによれば、ホテルのポリシーによるようです。21歳未満をチェックインさせない理由の一つに、飲酒年齢との関係が記載されています。

18歳でもチェックインできるホテルに予約を変更した方が良さそうですね。

公式ホームページに以下の記載がありました。大きいスーツケースは持ち込む事になりますね（スクリーニングを通って。。。）
https://airandspace.si.edu/visit/udvar-hazy-center/visiting-tips

Stow Your Baggage: The Udvar-Hazy Center has lockers in two sizes. The smaller lockers accommodate small bags (such as backpacks) and coats; the larger lockers are 12" wide, 15" deep, and 29" tall, and accommodates most carry-on size bags. A 25 cent deposit is required and the quarter is returned after the key is replaced. If you have baggage that does not fit in the lockers provided, you will be asked to carry your bags with you.

Minimize Carry-Ons: All visitors must pass through security screening upon entry. The fewer carry-on items you bring inside the Museum, the faster your entry (and visitors behind you). Before you visit, please review the list of prohibited items, which include pocket knives and tripods. Visitors carrying prohibited items will not be allowed inside the Museum, so please leave them at home or in your car.

また、空港については、ロッカーはないようです。
https://freetoursbyfoot.com/luggage-storage-washington-dc/

コロンビアハイツは、もっとも高級で安全なエリアということはありませんが、特別危険なエリアでもありません。勤務地がそちらなら、最初はコロンビアハイツのメトロの側に住むと便利かもしれませんがー。

何点かお伺いしたいのですが、業務のやりとりを日英英日両方で逐次通訳のという感じでしょうか？また、どのような分野の内容を通訳というイメージでしょうか？

車が無くて行けるウォルマートやターゲット、、、

ターゲットがロズリン駅の近くにありますが、小さい店舗で、わざわざ行くほどのものではないかと思います。アーリントン墓地にもし行かれるなら、そのついでに寄るのはありかもしれません。
住所 1500 Wilson Blvd, Rosslyn, VA

代表的なスーパーマーケットは、DC内ですと、以下の3箇所ではないかと思います。ご滞在先から近ければよいのですが。

トレーダージョーズ
1101 25th St NW, Washington, DC
ホールフーズ
2201 I St NW, Washington, DC 又は
1440 P St NW, Washington, DC

ちょっとしたお菓子やエコバッグなど、（アメリカのスーパーマーケットのテイストを感じるような）お土産に買えるようなものも何かしらあるはずです。

上記のスーパーマーケット店舗がご滞在先から近くなければ、典型的なお土産は街中や空港のお土産屋さんで買うか、博物館付属のミュージアムショップで買うのが楽だとおもいます。値段がいわゆる「お土産屋さん」の値段になりますので、コストパフォーマンスのすごく高いものは少ないかもしれません。（でも、中には結構よいものもあります。個人的には航空宇宙博物館のミュージアムショップとか。）

ご参考になりましたら幸いです。

地球の歩き方を越える内容でも特にないかもしれませんが、、、遅ればせながら個人的な回答をアップさせて頂きます。

ホワイトハウス、ワシントンモニュメント、リンカーン記念堂、スミソニアン博物館／美術館のいくつかをお好みで（航空宇宙とアメリカ歴史が王道？、美術系も良いとは思います）、何か良い催物があればケネディセンター、時間があればダレス空港近くの航空宇宙博物館の別館（スティーブン・F・ウドヴァーヘイジー・センター）のエノラゲイ他。

といったところかと思います。

ニューヨークには負けると思いますが、ワシントンでも記念に残る旅となりますことをお祈りします！

どの辺りでどんな時間にどんなものが食べたいかによるような気がいたしますが、個人的なアドバイスとしては、どんなレストランも8割方ハイチェアがありますし、子供がいて問題だと言われることもないので、好みの合いそうなレストランを見つけたら堂々と入れば、大体大丈夫です！

私も子供がいるので、気にかけています。タクシー乗車時は不要です。

「シャトルバス」と呼ぶか微妙ですが、↓にある、スーパーシャトル（乗り合いのバン）は、チャイルドシート必要です。（乗せてくれる運転手がいないとも限りませんが、運営会社のルール上は乗車を拒否されるはずです。）
https://www.ana.co.jp/ja/destination/america/iad/airport-access.html?c=iad

普通のバスは、タクシー同様、不要です。

ウーバーは、チャイルドシート付きのものを呼ぶことができます。（チャイルドシートなしのウーバーと比べ台数が少ないので、）時間がかかる場合もありますし、料金も割高になります。

チャイルドシートのないウーバーを呼んで、子供がいると、法律上はダメなはずですが、違法と知りつつ乗せてくれるウーバー運転手はそれなりにいると聞きます。もちろん、おすすめは全くしません。

おまけですが、タクシー乗車時（チャイルドシートは上述の通りルール上不要）、自分はシートベルトをして、その後、抱っこ紐（ベビービョルンなど）をすると、気持ち更に安全です。
（シートベルトは赤ちゃんには絡めず。）

ご参考になれば幸いです。