1日で周れないことはありませんよ。
朝一で7:00か8:00に台北から新幹線で約2時間で台中に到着。台中駅まで来れば宮原眼科へは台中駅からすぐ近くなので昼前には着けるはずです。
そこで少しゆっくりしてから駅前などもブラブラしつつ、午後2時すぎくらいに今度は台中駅から清水駅まで電車で約40分そして清水駅からバスで約15分で高美湿地に到着出来ます。
時刻もちょうど夕方で天気が良ければ最高に綺麗な夕日が観れるはずですよ。
忙しいといえば忙しいかも知れませんが、決して無理な日程では無いはずです。
5泊6日を台北だけで過ごすのは少し長すぎる気がします。
台北だけを周るのであれば3日あれば十分ですよ。
むしろ最終日を除いて残り2日程度は台中で過ごすのもアリだと思います。
ゆっくり観光もできますよ。

後ことばについては何にも心配は要りませんよ。
観光地に関しては困った時は日本語だけでもどうにかなります。
それに見かねた台湾人がきっと助けてくれるはずです。

こんにちは。
台北在住のマオと申します。
私の見解で質問に答えさせて頂きます。
1)グルメメインでしたらMRT双連駅近くの寧夏夜市をお勧めしますよ。
安いし美味い！

2)食べ歩きを想像しての回答でよろしいでしょうか？それならば色々買っても大体300元もあればお腹いっぱいなれると思います。

3)大体どこの夜市にも行列ができる（休日）場所や有名店がありますが、必ずしも日本人の舌に合うかはわかりません^_^;
実際に来て味わってみることをお勧めします

4) 同上

5)可能です。ただ規模が違えど売ってる食べ物はどこの夜市も似たり寄ったりです。

6)深夜2時のフライトとなると12時には空港にいないといけないと思うので、台北駅からバスかタクシーを拾うにしても桃園空港までは40分ほどかかると計算して、夜市で遊べるのは10時過ぎくらいまでかと思います。

7)時間が合えば案内も出来るかと思います。コーディネート料に関しては都合がつき次第交渉ということでよろしくお願いします。

事情はよく分かりませんが、本人と連絡を取れる手段(LINE等)は他にはないのですか？
何かしらの方法でこちらからメッセージを発信しても向こうから連絡がないのなら事件性を疑うべきです。
本当に心配なさっているならそういった事案はココで質問するより先ずは日本の警察の方に相談するべきですよ。

永康街にある金雞園が比較的安くて美味しいですよ。
この近くの信義路沿いにはかの有名な鼎泰豊ディンタイフォンがありますが、金雞園は信義路から永康街に入って真っ直ぐ歩いて5分ぐらいの所にあります。
店内は一階は厨房になっていますが、この店は厨房を奥まで突っ切って階段を上がると二階にテーブルが席があります。
最近だと観光客も目立ちますが、普段は地元民や近くの師範大学の学生や留学生なども利用できリーズナブルな値段でディンタイフォンにも負けない美味しい小籠包が食べられます。
オススメは蟹味噌入り小籠包です！
他にも小菜や炒飯、牛肉麺など定番のメニューも揃っていてどれを選んでも間違いありませんよ。
お酒は基本的に台湾ビールぐらいしか置いていなかったと記憶していますが、予め近くのコンビニで調達するなど、このお店は持ち込みでも怒られたことはありません。

網路通話費とは自分が使っている通信会社（例えば中華電信）と掛ける相手が使っている通信会社（中華電信）が同じだった時発生している通話費ということです。この場合通話費は他者に掛けるより幾らか割安になっていると思います。
通話費は自分が使っている通信会社と違う相手に掛ける場合に発生する料金表示です。国際電話もこれに含まれると思います。