荷物等を一時荷物預け所 left luggage service に置いて身軽に街を回るか、滞在された宿泊先で荷物をチェックアウトした後 預かってもらい街を散策されては如何でしょうか？ 一時荷物預け所は、下記の所要駅に設置されています。ヒースロー空港へ1日観光の後いらっしゃるなら、London PADDINGTON駅が便利です。heathrow express ヒースローエクスプレスで空港まで15分で着きます。片道27ポンドと少々高額ですが、時間を短縮するためには良いと思います。
London Paddington
London Euston
London Waterloo
London King's Cross
London St Pancras International
London Liverpool Street
London Charing Cross
London Victoria
上記駅の一時荷物預けは3時間まで荷物一個につき6ポンド、3時間以上24時間までは荷物一個につき11ポンド(2015年2月付けの情報)。

又は朝一で飛行場へ荷物を持って行き、空港の一時荷物預け所 (excess luggage 社)を利用して、地下鉄でロンドン市内に戻り観光するルートも考えられます。
ターミナル2到着階のメインロビー excess luggage デスクは朝の5時から夕方11時まで営業。London Heathrow Terminal 2 Arrivals. Main Concourse. 5am-11pm.
ターミナル3到着階の車レンタル受付付近、詳細はターミナル2同様。London Heathrow Terminal 3 Arrivals. Near Car Hire desks. 5am-11pm.
ターミナル4到着階、西出口方面、デスクは朝5時半から夕方11時まで営業。London Heathrow Terminal 4 Arrivals. Arrivals Hall West End. 5.30am-11pm.
ターミナル5到着階、UK到着口付近。詳細はターミナル4同様。London Heathrow Terminal 5 Arrivals. UK Arrivals End. 5.30am-11pm.

観光スポットとしてはロンドン市内のＶ＆Ａ (Victoria and Albert Museum)ミュージアム付近は交通の面でも便利ですし、サウスケンジントン駅付近にパブも沢山あります。女子一人旅という事ですのでパブランチに拘らないのであれば、Ｖ＆Ａミュージアム内にあるカフェレストランはウィリアム モリスという芸術家の装飾ホール内でお食事が頂けます。セルフサービスのですので、英語会話は指差し、メニューも目で確かめられるし、サービスにも時間が掛かりません。ロンドン市内を周回しダブルデッカーバスで回るサービスも、利用してみては如何でしょうか？ルート内乗り降り自由のバスですので、1日パスで回りたい所のみ降車し出来るので便利ですよ。サウスケンジントンでもバスに乗りる事でできます。幾つかの会社がサービスを提供していますが、見たところGolden Tour社のルートはＶ＆Ａミュージアムの前に停留所があるようです。www.hop-on-hop-off-bus.com 参照。地下鉄ピカデリーライン線 付近の観光スポットを回れば、観光の後空港までのアクセスも簡単ですよ。空港まではピカデリーラインで1時間強 余裕持って行動してくださいね。
ショッピングを楽しむなら、ピカデリーライン上の、コベントガーデン (コベントガーデン ピアッザでマーケット気分を味わえます、石畳の道を歩いてレスタースクエアに向けて散策し、ソーホーSOHOの中華街を抜けてピカデリーサーカス駅まで歩くのも良いですね)、ピカデリーサーカス (エロス像や少し歩いて、トラファルガー広場のネルソン像と噴水をみてナショナル ギャラリーを少し回る事もできます)。また、ピカデリーライン上のナイトブリッジ駅で 降車 高級ブティックの並ぶスローンストリートを横目にハロッズの前を抜けてサウスケンジントンに向けて歩くとＶ＆Ａミュージアムに到着します。
ロンドンのミュージアムは其々 カフェ ミュージアムショップ等が充実しています。疲れた時には一休みするのに便利です。
少し高級なランチやアフタヌーン ティーでしたら、ナショナル ポートレイ トギャラリー のポートレイト レストラン portrait restaurant (www.npg.org.uk参照) がオススメですが、此方はウェブ予約必須です。ビッグベン等を望めるレストランで人気です。

英文ですが http://capitalarrows.com/ にダーツパブ情報とイベント情報が記載されてます。翻訳アプリで読んでみてください。

ロンドンでは4月15日にナショナル ガーデニングウィークというイベントで入場料を当日全て無料で公開するというイベントがあります。詳しくは下記のリンク御参照ください。http://www.nationalgardeningweek.org.uk/national-open-gardens-day-15-april.aspx。
ロンドン滞在の場合は、英国は日本に比べて物価が高いので、国内旅行の1.5倍程度の予算は最低限必要と思います。御高齢のお母様と旅行する際は移動にタクシーやレンタカーを利用された方が楽だとお思います。地下鉄構内はエスカレーターはあるにしろ、駅によっては階段のみのところもありますので。でも、地下鉄地図に車イスマークがある駅に関しては、バリアーフリーとなっており、エレベーター等完備されいます。ロイヤル ホーティカルチャーソサエティー(ＲＨＳ)に園芸等の情報が豊富に出ていますので、此方も御参考下さい。
https://www.rhs.org.uk/

英国では花粉症を一般にhayfever やpollen allergyといってます。ネット検索したところ下記のような情報入手しました。御参考下さい。
tree pollen 杉、白樺等 アレルギー– late March to mid-May ３月下旬から5月中旬に最大
grass pollen オオガワガエリ、ホソムギ等– mid-May to July ５月中旬から7月に最大
weed pollen イラクサ、よもぎ等– end of June to September 6月下旬から9月に最大
ロンドンには日系診療所が二件ほど開業しています、緊急の際はこちらで診察される事も可能です。但し、料金は高額ですが、日本語で対応なので利用される価値はあると思います。
残念ながら、春休みよりは 夏または秋冬でご旅行を予定された方が、お子様のアレルギーの心配なく楽しめるのではないでしょうか?
春休みのみ旅行可能というのであれば、ロンドン市内でしたら、郊外よりは花粉は少ないかもしれませんし、マスクもつけている人は少ないにしても、つけて観光することは問題ないと思います。ネット情報には朝方と夕方は外に出ること控えるというアドバイスもありました。それでも、春というだけで花粉はどこにいても一番飛んでる時期です。

長距離ルートの場合 1st クラスは席間隔が2ndクラスより広く、軽食や飲み物サービス、駅では1stクラスのラウンジが使える等の特典がありますが、短距離ルートでは両クラス間、の差は余り無いようです。
ロンドン エジンバラ間 では朝食サービスが無料で含まれたりするとトリップアドバイザーに記載されてました。
一区間のみ2ndクラスから1stクラスにアップグレードすることも出来ると思います。

ウェンブリーのサイトで一般の質問項目で調べてみましたが、英国ではバーチャルクレジットカードというものは余り使われていないようで、やはりクレジットカードと写真付き身分証明書の掲示が基本のようですね。別の対処法としては、クレジットカード紛失という筋書きで、カード掲示不可能というえ事にしてみたら如何でしょうか？一般の質問箇所にその場合の解決策が記載されていました。
下記ご参照ください。チケット購入時に保管した確認メールの写しや、兎に角 正規に購入したという証拠になる種類を持って、チケットオフィスで交渉する他ないと思います。
My payment card is lost/stolen – what can I do?
If you find yourself in this situation please make your way to the venue box office where a resolution will be found. Once the customer’s original barcodes have been verified as not having already been used a physical set of tickets will be issued to the cardholder on presentation of stated-issued photo ID. Customers must then enter the event and will not be allowed to leave at any point with the tickets.

ロンドン在住邦人の広告サイトに質問をされるのをお勧めします。

http://www.mixb.net/

マイバス　ツアーでは個人アシストのサービスを提供している様子、下記のサイトから検索下さい。
http://mybus-europe.jp/mybus-jp/theme/private-guide/

6月は予定が未だ確信できないので、御出発前迄に他トラベルロコ参加者で希望される、半日観光のボランティアが居ない場合 再度 お声をかけて下さいます。6月中旬を過ぎれば週末の予定がわかると思いますので。
スピタルフィールズマーケットでは古着、アクセサリーや手作りのクラフト細工等に興味をお持ちでしたら、時間を忘れてショッピングしてしまうところです、時間は余裕を見て計画される事をお勧めしますよ。