宿泊ホテルの正確な所在地がわかりませんがAtaköyはメトロやメトロビュス(専用レーンを走るバス)、マルマライ(電車)、路線バス(難易度高いですが)と各種公共交通機関が通っており、時間はかかりますが観光地へ行くことは可能だと思います。乗り換えも必要になりますので事前にしっかりと確認なさるといいと思います。ホテルの朝食をパスして早めに出発しガラタ塔付近、もしくはバラット地区で朝ごはんを食べるのも良いかもしれません。
https://www.metro.istanbul/en/
こちら英語もありますのでよろしければ参考にして下さい。

ご旅行に間にあっているといいのですが..マルマリスはおっしゃる通り、かなり観光地化した大リゾート地です。
私のおすすめは2箇所あります。
一つめはチャナッカレからフェリーで渡るBozcaada (ボズジャアダ)です。小さな島ですがいくつかビーチがあり海は透明でとてもきれいです。美味しいワインの産地でもあります。
2つ目はAyvalık(アイワルック)です。長い砂浜のサルムサックルビーチが有名です。前菜が美味しいレストランの多いCunda adaにも近いです。
両方ともに外国人よりトルコ人の方が多くまだまだローカル色が残り、ご希望のリゾート地に近いかと思いました。
お役に立てば幸いです。

新市街でしたらタクシム広場から徒歩でも行けるağa hamamı。カップルにもおすすめの混浴。
http://www.agahamami.com/

トラムのトプハネ駅近くKılıç Ali Paşa hamamı。こちらは女性専8〜16時、男性専用16:30〜23:30の時間別になっています。
https://kilicalipasahamami.com/

旧市街になりますが世界の著名人も多々訪れている歴史的なCağaloğlu hamam。
予算によって細かくサービスが分かれています。
https://cagalogluhamami.com.tr/

いずれのハマムも要予約となっていますのでご注意下さい。