新市街でしたらタクシム広場から徒歩でも行けるağa hamamı。カップルにもおすすめの混浴。
http://www.agahamami.com/

トラムのトプハネ駅近くKılıç Ali Paşa hamamı。こちらは女性専8〜16時、男性専用16:30〜23:30の時間別になっています。
https://kilicalipasahamami.com/

旧市街になりますが世界の著名人も多々訪れている歴史的なCağaloğlu hamam。
予算によって細かくサービスが分かれています。
https://cagalogluhamami.com.tr/

いずれのハマムも要予約となっていますのでご注意下さい。

ご旅行に間にあっているといいのですが..マルマリスはおっしゃる通り、かなり観光地化した大リゾート地です。
私のおすすめは2箇所あります。
一つめはチャナッカレからフェリーで渡るBozcaada (ボズジャアダ)です。小さな島ですがいくつかビーチがあり海は透明でとてもきれいです。美味しいワインの産地でもあります。
2つ目はAyvalık(アイワルック)です。長い砂浜のサルムサックルビーチが有名です。前菜が美味しいレストランの多いCunda adaにも近いです。
両方ともに外国人よりトルコ人の方が多くまだまだローカル色が残り、ご希望のリゾート地に近いかと思いました。
お役に立てば幸いです。

イスタンブールに関してですが今年は暖かくなるのが遅れています。気温が上がる日中は半袖で大丈夫になってきましたが以外はまだ羽織る物が必要です。カッパドキアやアンカラは更に朝晩冷え込むと思います。小さく畳めるタイプの羽織り物があると荷物にならずいいかもしれません。加えて女性ならばショールをお持ちになるのも寒さ対策&モスク入場時に活躍しますのでおすすめです。

ご質問の空港からのメトロⓂ️11は現時点ではKağıthane駅(空港から約25分)まで開通しています。今年7月にあと一駅先のGayrettepe駅(空港から約30分)まで繋がる予定です。Gayrettepe駅でⓂ️2に乗り換えるとYenikapi まで行けます。目的地を旧市街Sultanahmetと仮定しますと、メトロを降りたyenikapi でトラムの駅Aksarayまで歩きSultanahmetへ行けます。yenikapiでMarmaray に乗り換えSirkeciへ行きsultanahmetに近い出口から出るという手もあります。
乗り換えを1回にするためにⓂ️2をVezneciler 駅で下車しグランドバザールへ徒歩(10-15分)で行き観光を始めるという方法も考えられます。
空港バスはおっしゃる通り渋滞にはまると時間がかかります。メトロは比較的時間通りに運行しています。