Thanks Giving Day は、一般的にアメリカ人が家族とともに自宅なのでいっしょに食事をして過ごす祝日です。
ですから、観光施設やレストランなど、普段は年中無休な場所でも、この日とクリスマスに限っては休業するところがとても多いです。ファーストフードも営業時間を短縮し、夕刻は従業員が家族と過ごせるように配慮しているところが多いです。もし、ホテル滞在でしたら、客室の清掃サービスなども省略、簡略化されるかもしれません。
これらはあくまで一般論なので、個別にはご自身でご確認を。
Thanks Giving Day のユニークなイベントがあり、たとえばマンハッタンなら、Macy's のパレードがあります。
ご存じかもしれませんが、翌日金曜日は Black Friday とよばれ、バーゲンセールが開始されます。これを前倒しして Thanks Giving Day 当日にバーゲンを開始する店舗が、最近はあります。もし買い物やセールにご興味がおありでしたら、お買い得な品物が見つかるかもしれません。

どの球団をご希望か存じ上げませんが、New York Mets のチケットは今日現在（11月18日）購入できるはずです。試合開始時間が未定の場合もありますが。
ゴールデンウィーク中なら、Miami 戦があるので、イチロー選手が見られるかもしれませんね。

ご指摘のページからリンクされている、MTA のサイトの情報によると、

Departure times:
Leaves 2 Av　　　　　　　　　　　　　 Leaves Queens Plaza
10:05 a.m. 　　　　　　　　　　　　　　10:44 a.m.
11:33 a.m. 　　　　　　　　　　　　　　12:14 p.m.
1:03 p.m. 　　　　　　　　　　　　　　　1:44 p.m.
2:33 p.m. 　　　　　　　　　　　　　　　3:14 p.m.
4:03 p.m. 　　　　　　　　　　　　　　　4:44 p.m.

です。マンハッタン中心でしたら、６番街の地下鉄になります。基本的には　路線Mです。
始発、終点駅をお探しでしたら上記２駅に行ってみてはいかがでしょうか？
こちらには、あまり「鉄ちゃん」いませんから、日本ほど盛り上がらないと思います。
きょうを含めあと３日ですね。頑張ってください。

メジャーリーグの球場は、オフシーズンでもガイドツアーを開催していますので、たいがい中に入ることできます。選手の練習風景は見られませんが、クラブハウス、ロッカー、記者席、ブルペンなど見て回れます。工事中で制限がある場合もあります。
ニューヨークの2球場の関連サイトはこちらです。
http://newyork.yankees.mlb.com/nyy/ballpark/stadium_tours_details.jsp

http://newyork.mets.mlb.com/nym/ballpark/tours/

競馬ですが、ベルモント　パークで開催されるのは5月と9月です。馬を見たいなら冬場は暖かい南の州に行かないとダメです。
馬券を買う経験をしたいなら、場外馬券販売しているバー、レストランなどありますので、テレビ観戦は可能です。

お気をつけて。