日曜日に帰国するのにジョシュア・ツリーに土曜日に向かうのはかなり厳しいかと思います。国内線とはいえ、LAXからレンタカーを借りて出発するまでかなり時間がかかるし、週末は混むのでレンタカーの受付時間中に戻るのは難しいのでは？
金曜日に行くのが安全だと思いますよ。パームスプリングスあたりで1泊してのんびりして土曜の朝早く行ってくれば良いんじゃないかと。

往路は105→605→10が基本でLAXから暫くは治安的に旅行者にはやや不安なエリアですが、少なくともI-10Eに入ったあとは治安面で(一般的なアメリカのロードサイドエリアの注意を守ってれば)そんなに危ないところはないかなと。ただ、その時々で事故や工事などもあり私ならGoogleなどに従って走ります。

復路も同じルートで良いかと。ロングビーチ経由の方がやばい気がします(事故も多いし、治安的にも)。なお土曜の宿泊が空港周辺という前提です。

エリアを考えるとUberやLyftの利用ということでしょうか。プリスクールなどでは現地基準でシートの使用期限満たしていることが必要ですがライドシェアでそれが問われることはまずないです。
生後半年と2歳半の2人を連れて赴任した時には上の子用に日本育児のトラベルベストを持っていきました。見た目以上にしっかりしていて安心感があり、コンパクトでよかったです。プリスクールでは使えませんでしたがこちらの件には用足りるかと。国内旅行でも使えますし。

リトル・トーキョーの真南から南西側は徒歩で出向くのはやや危険なエリアとなります。東側にはMOCAの分館Geffen Contemporaryがあり、何も開催してなくても外側に大きなパブリックアートが展示されてます。その横には全米日系人博物館がありますね。南東側アーツディストリクトはICALAやメガギャラリーHauser＆Wirthなどアート・ギャラリーがあるほか、洗練された雑貨を扱う店などもありますし、もしクラフトビール好きならAngel City BreweryやWurstküche、Arts District Brewing Companyのような一人でもグループでも楽しめるスポットがあります。
建築好きなら建築の名門大学南カリフォルニア建築大学の、貨物駅を改装した独特のキャンパスや、その向かいのSanta Fe Ave沿いに立てられた現代建築One Santa Feとその一角のアート・デザイン系書店Hennessey+Ingallsとその並びにあるカクテルバーHere ＆ Nowは楽しいかと思います。
このあたりまでは徒歩でも行けますしアイスクリーム屋さんなども何件かあります。最近はもっと南側が面白いようですがそちらに行くならLyftやUberをお使いください。
また観光地としては北側にあるユニオン・ステーションが有名で、こちらも徒歩で行けます。
北西側にも市庁舎や天使のマリア大聖堂、さらにウォルト・ディズニーコンサートホールや現代美術館ザ・ブロード、MOCA本館、グランド・セントラル・マーケットなどがあります。ただ少し離れているのと場所により坂があるので北西側に行くエリア間移動はLyftやUberを使うのが無難です。