シドニーの観光スポットと言えば、オペラハウスやハーバーブリッジでしょうか。イギリスの建物に似たようなQVB(クイーンズ ビクトリア ビルディング)という所は、建物がおしゃれな上に、ショッピングも楽しめます。また、時間があればブルーマウンテンや、ビーチもおすすめです。
オペラハウスやハーバーブリッジへは、市内から歩いて簡単に行けます。有名なボンダイビーチへは、市内からバスと電車で行くことができます。
なので、宿泊するなら市内が良いのではないかと思います。

シドニーは最近雨が続いています。雨が止んでいる時間もありますが、降り出すと一気に降るような感じです。気温は15〜20℃前後です。日本の6月より寒い気がします。
ヒートテックと薄手のセーターやパーカーなどでもいいかもしれませんが、冷えるときもあるので、念のため薄手のジャケットがあってもいいと思います。