Walgreens は車の中からでしかテストは受けられません。Safeway 系のスーパー内にある薬局なら予約すれば徒歩で入って受けられます。
アラスカではないのですが、先日知り合いが日本に帰国する為シアトルのSafeway pharmacy でCOVID-19 テストを受け、日本の書式を持参したら、ドクターのサインはないものの記入をして貰えたので、それをMySOSに登録したところ、登録完了の青画面になったと言っていました。青画面になれば、問題ありません。
必ずOKになるとは保証出来ませんが、72時間余裕があるので、試してみてはどうでしょう？

基本的には変わってないようです。ただ有効な検査が追加になったので、Walgreens などで無料で出来る検査でもOKになったケースはあるようですが、それで搭乗拒否されたケースも聞いています。実際には　“その検査結果を有効にするかどうか決める人による” という所だそうです。
なので、出発の72時間前に無料で検査をしてファストトラックに登録し、それでOKにならなかったら、医療機関で検査をするというのが一番良さそうですよ。とにかくファストトラックが青になっていれば、搭乗出来ます

現在、日本人の旅行客自体が殆どいませんので、アンカレッジの空港で検査を受けた日本人がいるかどうかは分かりませんが、前に聞いた時にはドクターのサインも貰えるとのことでした。通常検査結果はメールで届きますので、厚生労働省の書類をお願いしても、メールで届くのではないかと思いますが、100％の確証はありません。検査を受ける際に確認するのがいいかと思います。検査方法はTMA法だと言っていました。
検査場はセキュリティーの外側、バゲッジクレームの所で誰でも入れますから、アンカレッジ滞在中ということですので心配だったら一度様子を見に寄ってみたらいいのではないでしょうか？

アンカレッジでは現在のところ空港でPCR検査を希望する人に行っています。先日確認したら、こちらで書類を準備して持参すれば、記入してドクターのサインももらえるとの事でした。検査方法はTMA法だそうです。

アラスカは確かにワクチン接種が進んでいる方で、私も4月初めには2回目の接種が終わっています。
でも私の知っている限り、アラスカで今ワクチンを受けられるのは、アラスカに住んでいるかアラスカで仕事をしている人です。
6月1日から旅行者にも提供するという発表があったようですが、ツアーとしてわざわざ来るのはどうかと思います。ワクチン接種後は熱が出たり、倦怠感があったり何らかの副反応が出る事が多く、予定を組むのは難しいと思います。私も接種の次の日は微熱、腕の痛さ、全身の倦怠感で何も出来ませんでした。もしももっと酷い副反応が出て病院にかかるような事になってしまったら、どれだけ費用がかかるか分かりません。更に4週間後に2度目の接種も必要です。
しかも、現在のところ、アメリカへ来るにも日本へ帰るにもPCR検査が必要で、この検査も安くはありません。
誰でも受けられるようになったとしても、やはり日程の面でも費用の面でもわざわざツアーとして来るのはお勧め出来ません。

アンカレッジの空港は小さいので、乗り継ぎは簡単です。アラスカ航空は全てCゲートを使っていますので、C1からC9ゲートの間の何処か、或いは、アンカレッジで客室乗務員の交代が無ければ、そのまま同じ飛行機で行くかもしれません。少なくとも、アンカレッジで手荷物検査などはありません。 荷物はシアトルで預ける際にフェアバンクスまでのタグが付いていれば、そのままフェアバンクスで受け取れます。