PalembangのLRTは、アジア大会開催直前に試験運行したが駅が完成していないのでオープン出来ないとか、もう完成して通常運行に入っているとか情報が定かではありません、Palembangに着いたら空港内で聞いた方が良いと思います。地図を見るとJakabaringまで駅は１０駅で終点の１つ手前のようです。
それ以外の手段としてはやはりタクシーでしょう。
空港からJakabaringまでは20kmちょっと、時間にして45分くらいでしょうがPalembangも最近は結構渋滞しますので１時間くらい見ておいた方が良いと思います。
タクシーは空港内のタクシーチケットカウンターで買った方が良いです。インドネシアのタクシーは日本のように高くないです。空港ロビーを出ると白タクの客引きがいっぱいいますが相手にしない方が良いでしょう。食事は何処へ行ってもあります。

チケットはここで買えますがホームページはインドネシア語です。

https://www.blibli.com/promosi/venue-judo?appsWebview=true

このサイトはインドネシア国内向けで、まず登録をして購入、チケット
は郵送です。代金決済はクレジットカードやインドネシア銀行のインターネットバンキングです。海外からの購入は厳しいです。

これ以外に日本人向けにチケット販売している店舗があるようです。
Panorama JTB Wisam Keiai（ケイアイビル）

日本国内JTBで問合せ出来るようです。

柔道は８月２９日～９月１日、チケット代は１日単位の販売で Rp100,000.-（800円）～Rp150,000.-（1,200円）のようです。

なかなか難しいですね、言葉の問題もあり・・・
また、ようやくたどり着いてもチケット代支払いで海外のクレジットカードでははねられるケースもあるようで。

このサイトにオンラインで購入する方法が書かれています。ただし、インドネシア語です。
https://www.idntimes.com/sport/arena/estri-hikmah/cara-membeli-tiket-asian-games-2018-c1c2

このサイトがオフィシャルサイトです。
www.asiangames2018.id/tickets

https://www.kiostix.com/id/AsianGames2018

ここでチケット買えるようですが海外からではどうなんでしょう。

どうしてもうまく行かなかったら、いっそのこと当日券で入るか、事前にジャカルタに入って買うかですが。
受け渡しとかがうまく行けば代行購入してあげても良いのですが。

つまらないので、お勧めじゃないですが１０か所あります。
1. Jembatan Ampera（アンペラ大橋）
2. Sungai Musi（ムシ河）
3. Pulau Kemaro（ムシ河の中州にある島）
4. Taman Hutan Wisata Punti Kayu（森林公園）
5. Benteng Kuto Besak（河のほとりにある石造りの刑務所跡）
6. Masjid Agung Sultan Mahmud Badaruddin（イスラム教会）
7. Taman Kambang Iwak（オランダ時代の公園）
8. Gelora Sriwijaya（サッカー場）
9. Air Terjun Lematang Indah（滝）
10. Masjid Cheng Ho（仏教寺院）
写真と説明はここにあります。
http://anekatempatwisata.com/10-tempat-wisata-di-palembang-yang-wajib-dikunjungi/#

ボロブドゥール遺跡に鉄道で行ったことがないので明確な答えが出せませんが、多分JAKARTAからYOGYAKARTAまで鉄道で行って、そこからバス、タクシー等の車移動になるのではないでしょうか。

インドネシアの鉄道にはEKONOMI、BISNIS、EKSEKUTIFといったクラスがありますが、JKT-YOGYA乗り換え無しだとEKSEKUTIFクラスになると思います。料金は片道３千円くらいでしょうか。
所要時間は８時間前後です。
ダイヤは１日１０本くらい出ていますが、ほとんどは出発が朝８時前後か夜８時前後です。夕方４時か５時頃の便が１、２本あるようです。
いずれにしても、朝の便なら到着が夕方３時か４時頃、しかし、夕方の便だと真夜中、夜の便だと朝方３時か４時の到着になるのでやっかいです。

JIEXPOは、その昔ジャカルタ国際飛行場の跡地を展示場、博覧会会場にしたもので都心から少し離れています。周りには何もなく一番近いところではANCOL（アンチョール）という海岸沿いにある遊園地（ディズニーランドの小型版）でしょうか、車で３０分くらいです。食事やショッピングはやはり都心に出て来ないとまともなところはありません。比較的近いショッピングモールはTaman Anggrek（タマン・アングレック）でしょうか、それでも渋滞しますので車で小一時間かかります。他の競技をやっているブン・カルノ・スタジアムは都心にあるためモールやショッピングセンターはいろいろあります。
車の移動は日曜日がお勧めです。平日の渋滞は半端じゃないです。

距離換算で一番安いのはTrans Jakarta (Busway Bus)です。
その後は；
Bus kota (Metromini)
Angkot
等の乗合バスです。

タクシーは；
Gojek
Grab
は同じようなものです。携帯から予約を入れて到着を待ちます。空港などでは呼べません。Ojekバイクは距離から言ったら高いですが近道をして車の間を縫っていくので早いです。英語は通じません。
BluebirdなどのメータータクシーはGrabの1.5倍くらいです。

何処のサイトから購入しようとしていますか？
カードは日本のクレジットカードですか？
結構ダメな場合があります。
このサイトから購入してみて下さい。ただし、言語はインドネシア語です。
でも大丈夫あなたなら、難しくないですから。
https://www.tiket.com/

一般的なレストランは夜１０時には閉まります。
後は道路端でテントを張って営業しているNasi GorengやSeafoodになります。
それが嫌な場合はホテルの２４時間営業のレストランになります。

あまりにも漠然とした質問、何を知りたいのかもっと具体的に。