何をもって戦跡とおっしゃるのか不明ですが、台北近くの山には日本時代の軍機が墜落したことの殉職記念碑が二つあります。
一つは新北市石門區尖山湖、もう一つは宜蘭縣頭城です・ともに原型を保っています。
前者は、道が整備されており、尚且つ車などでアクセスが比較的簡単です。
後者は、山の中でかなり登山が必要です。また、草刈りされてから時間が経っているので道の状態はおそらく良くないです。
私が歩いた記録はこちらにあります。
https://taipeihiker.blogspot.com/2019/09/201997.html
https://taipeihiker.blogspot.com/2019/11/20191123.html
https://taipeihiker.blogspot.com/2020/09/2020923.html

台北で一番大きなスポーツ用品店は、迪卡儂（ディカノン）です（自社の主張）。フランス系のこのスポーツ用品量販店は台北に支店が三か所あります。訪問する価値はあると思います。
ジムについては、World Gymなどの外資系や台湾ローカルのジムが増えています。台湾も健康志向が強まっています。また、台北市や新北市という地方自治体のジム（スポーツセンター、運営は民間に委託）もあります。民間のジムに比べると設備は少ないですが、費用が安く高齢者向けの低料金（また無料時間帯もある）ので、のぞいてみるのも良いかもしれません。
私自身は、ジムに通って約15年になります。
これらの場所の詳細については、それぞれネットホームページがありますが、トラベルロコの規定で、ハイパーリンクはつけられないようなので、検索してください。

漁人碼頭や紅毛城などの観光スポットや老街を見て回るのであれば、半日はあったほうが良いです。渡し船で対岸の八里に行くのも良いです。
夕陽を見るのであれば、紅毛城から淡水駅に向かっていく川沿いの道を行くとよいです。よいスポットがたくさんあります。
あと、淡水名物「阿給」はためしてみる価値はあります。阿給は春雨がはいっている揚げ物ですが、この名称はおそらく日本時代の揚物からきているのではないかと、思います。お店は老街近くで漁人碼頭や八里に行く渡し船の埠頭近くに何件か固まってあります。