台北で一番大きなスポーツ用品店は、迪卡儂（ディカノン）です（自社の主張）。フランス系のこのスポーツ用品量販店は台北に支店が三か所あります。訪問する価値はあると思います。
ジムについては、World Gymなどの外資系や台湾ローカルのジムが増えています。台湾も健康志向が強まっています。また、台北市や新北市という地方自治体のジム（スポーツセンター、運営は民間に委託）もあります。民間のジムに比べると設備は少ないですが、費用が安く高齢者向けの低料金（また無料時間帯もある）ので、のぞいてみるのも良いかもしれません。
私自身は、ジムに通って約15年になります。
これらの場所の詳細については、それぞれネットホームページがありますが、トラベルロコの規定で、ハイパーリンクはつけられないようなので、検索してください。

何をもって戦跡とおっしゃるのか不明ですが、台北近くの山には日本時代の軍機が墜落したことの殉職記念碑が二つあります。
一つは新北市石門區尖山湖、もう一つは宜蘭縣頭城です・ともに原型を保っています。
前者は、道が整備されており、尚且つ車などでアクセスが比較的簡単です。
後者は、山の中でかなり登山が必要です。また、草刈りされてから時間が経っているので道の状態はおそらく良くないです。
私が歩いた記録はこちらにあります。
https://taipeihiker.blogspot.com/2019/09/201997.html
https://taipeihiker.blogspot.com/2019/11/20191123.html
https://taipeihiker.blogspot.com/2020/09/2020923.html

当日通訳可能です。費用は日本円6000円お願いします。
日本国家試験である中国語通訳案内士の資格を有しています。

私は台湾在住が長く、過去12年にわたり台湾の山を歩き、600数十回の登山記録を書いています。玉山ももちろん登頂しています（四回）。私がご案内してもいいのですが、若い日本人友人が、日本からの登山者をつれて玉山によく行っているので、よかったら紹介しましょう。
なお、私のブログは、Taipei Hikerといいます。ここでは、直接HTTPを貼ることが、ロコタビの規約でできないようなので、検索エンジンで検索していただければ、出てきます(Taipei Hikers =複数ではありません）。