すごいですねっ！チケット手に入れたんですね！！
タクシーが一番簡単と思いますが、ふっかけられるかも。（イギリス人、基本的にはいい人ですが）
一応直近の地下鉄駅はHounslow Eastだとのこと。ピカデリー・ラインなので、空港からそのまま行けますが、荷物を持っての移動は大変かもしれません。

① コッツウォルズは地方の名前です。町の名前ではないので、広いですよ。
行く「村」を決めて、そこに宿を取ることをお薦めします。なので、回答は、「村ごとに宿を変える」のがいいでしょう。

② 車があった方が便利です。

③ ここに①と②の回答が含まれますが、ロンドンからコッツウォルズへのバスツアーが出ているので、それを利用するのが一番いいと思います。
各種日本の旅行会社からもツアーがありますし、
https://www.google.co.uk/search?q=%E3%82%B3%E3%83%83%E3%83%84%E3%82%A6%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%82%BA+%E3%83%84%E3%82%A2%E3%83%BC&ie=utf-8&oe=utf-8&gws_rd=cr&ei=YPHBVcHqG4KnepqFr8AC
イギリス国内の旅行会社からも出ています。
http://www.euro-japan.co.uk/uk_holidays/d_country/n_country.php
http://www.gendai.co.uk/tours/day-tours-in-uk.html
など。
検索すれば、他にも色々ヒットすると思います。

ただし、わたしが検索した限りでは、これらは日帰りツアーとなるので、
幾つかのツアーを組み合わせて、コッツウォルズをくまなく回れるようにするのがいいでしょう。

予定通りご自分で回る場合、まずロンドンに出て、
そこからコッツウォルズ行きのバスに乗るのが一番確実です。
バスはヴィクトリア駅コーチステーションから出ています。

④ロンドンの宿はどこにとっても、地下鉄＆バス網があるので、移動に困ることはありません。昔は、ヴィクトリア駅周辺に安宿がありましたが（上記のバスターミナルがある関係上）今は、どうなんでしょうか？
ただし、ロンドンのB&Bは、とんでもないレベルだとだけ言っておきましょう。
（これも、遥か昔の話ではありますが。）
普通に日本で生活している人には馴染めないと思います。ホテルをお薦めします。
いずれにしろ、LHRにはピカデリー・ラインが乗り入れているので、ピカデリー・ライン上に宿を取るのが便利です。マーケットや劇場には、どのラインでも行けますが、空港にはこのラインしかありません。（パディントン駅から特急列車もありますが、高いと思います。）
また、名前の通りピカデリーに通じているので、ウェスト・エンド（劇場街）に行くにも便利です。

⑤ ヴィクトリア駅から電車が出ています。
もしくは、コーチステーションからのバス。
もしくは、前述のツアーを利用するか。
電車のチケットは色々なサイトで買えるのですが、一番簡単なのは、駅の窓口です。行きたいと思いたった日（晴れていた方がいいでしょう？）に駅へ行けば、オッケーです。