BAの乗り継ぎを利用したことはないので、他社での経験ですが、
乗り換え時間の短いコネクションの場合、
降りると、そこに係員が待ち構えていて、せかせかと誘導してくれますので、心配要りません。
航空会社としても、飛行機を遅らせる訳にはいかないので、
乗り残しのないよう必死ですから。
また、イギリスの入国カードは必要ないと思います。
飛行機の中で説明がありますので、それに従ってください。

ホテル付の航空券もしくは、航空券とホテルを組み合わせて買った方が安く上がります。
その場合、ホテルはたいていロンドンから西の方にあるものが設定されてしまうので、
ホテルを選べる場合は、多少値段が上がってもロンドン中央もしくは東側にあるホテルを選択することを、お勧めします。
O2はロンドンの東の端です。
旅行会社のツアーを利用せずに、ご自分で航空券を手配する場合、KLMにすれば、London City空港が選べるので、
それは、それで便利です。
KLMのサイトで一緒にホテルも選べるでしょうから、
そこにお勧めされているCity空港近辺のホテルにすれば、O2が近いです。

ビールは、パイントか、ハーフかで注文します。
お金はその場で支払ってください。
パブにおつまみはありません。
おつまみつきで飲みたい場合は、タパス・バーなどへどうぞ。

2等でいいです。
今は、1等が廃止されていることも多く、
2等のチケットで1等車に乗れますから。
1等車と言っても、特に豪華なことはありません。
2等で十分です。

すごいですねっ！チケット手に入れたんですね！！
タクシーが一番簡単と思いますが、ふっかけられるかも。（イギリス人、基本的にはいい人ですが）
一応直近の地下鉄駅はHounslow Eastだとのこと。ピカデリー・ラインなので、空港からそのまま行けますが、荷物を持っての移動は大変かもしれません。

① コッツウォルズは地方の名前です。町の名前ではないので、広いですよ。
行く「村」を決めて、そこに宿を取ることをお薦めします。なので、回答は、「村ごとに宿を変える」のがいいでしょう。

② 車があった方が便利です。

③ ここに①と②の回答が含まれますが、ロンドンからコッツウォルズへのバスツアーが出ているので、それを利用するのが一番いいと思います。
各種日本の旅行会社からもツアーがありますし、
https://www.google.co.uk/search?q=%E3%82%B3%E3%83%83%E3%83%84%E3%82%A6%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%82%BA+%E3%83%84%E3%82%A2%E3%83%BC&ie=utf-8&oe=utf-8&gws_rd=cr&ei=YPHBVcHqG4KnepqFr8AC
イギリス国内の旅行会社からも出ています。
http://www.euro-japan.co.uk/uk_holidays/d_country/n_country.php
http://www.gendai.co.uk/tours/day-tours-in-uk.html
など。
検索すれば、他にも色々ヒットすると思います。

ただし、わたしが検索した限りでは、これらは日帰りツアーとなるので、
幾つかのツアーを組み合わせて、コッツウォルズをくまなく回れるようにするのがいいでしょう。

予定通りご自分で回る場合、まずロンドンに出て、
そこからコッツウォルズ行きのバスに乗るのが一番確実です。
バスはヴィクトリア駅コーチステーションから出ています。

④ロンドンの宿はどこにとっても、地下鉄＆バス網があるので、移動に困ることはありません。昔は、ヴィクトリア駅周辺に安宿がありましたが（上記のバスターミナルがある関係上）今は、どうなんでしょうか？
ただし、ロンドンのB&Bは、とんでもないレベルだとだけ言っておきましょう。
（これも、遥か昔の話ではありますが。）
普通に日本で生活している人には馴染めないと思います。ホテルをお薦めします。
いずれにしろ、LHRにはピカデリー・ラインが乗り入れているので、ピカデリー・ライン上に宿を取るのが便利です。マーケットや劇場には、どのラインでも行けますが、空港にはこのラインしかありません。（パディントン駅から特急列車もありますが、高いと思います。）
また、名前の通りピカデリーに通じているので、ウェスト・エンド（劇場街）に行くにも便利です。

⑤ ヴィクトリア駅から電車が出ています。
もしくは、コーチステーションからのバス。
もしくは、前述のツアーを利用するか。
電車のチケットは色々なサイトで買えるのですが、一番簡単なのは、駅の窓口です。行きたいと思いたった日（晴れていた方がいいでしょう？）に駅へ行けば、オッケーです。