① コッツウォルズは地方の名前です。町の名前ではないので、広いですよ。
行く「村」を決めて、そこに宿を取ることをお薦めします。なので、回答は、「村ごとに宿を変える」のがいいでしょう。

② 車があった方が便利です。

③ ここに①と②の回答が含まれますが、ロンドンからコッツウォルズへのバスツアーが出ているので、それを利用するのが一番いいと思います。
各種日本の旅行会社からもツアーがありますし、
https://www.google.co.uk/search?q=%E3%82%B3%E3%83%83%E3%83%84%E3%82%A6%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%82%BA+%E3%83%84%E3%82%A2%E3%83%BC&ie=utf-8&oe=utf-8&gws_rd=cr&ei=YPHBVcHqG4KnepqFr8AC
イギリス国内の旅行会社からも出ています。
http://www.euro-japan.co.uk/uk_holidays/d_country/n_country.php
http://www.gendai.co.uk/tours/day-tours-in-uk.html
など。
検索すれば、他にも色々ヒットすると思います。

ただし、わたしが検索した限りでは、これらは日帰りツアーとなるので、
幾つかのツアーを組み合わせて、コッツウォルズをくまなく回れるようにするのがいいでしょう。

予定通りご自分で回る場合、まずロンドンに出て、
そこからコッツウォルズ行きのバスに乗るのが一番確実です。
バスはヴィクトリア駅コーチステーションから出ています。

④ロンドンの宿はどこにとっても、地下鉄＆バス網があるので、移動に困ることはありません。昔は、ヴィクトリア駅周辺に安宿がありましたが（上記のバスターミナルがある関係上）今は、どうなんでしょうか？
ただし、ロンドンのB&Bは、とんでもないレベルだとだけ言っておきましょう。
（これも、遥か昔の話ではありますが。）
普通に日本で生活している人には馴染めないと思います。ホテルをお薦めします。
いずれにしろ、LHRにはピカデリー・ラインが乗り入れているので、ピカデリー・ライン上に宿を取るのが便利です。マーケットや劇場には、どのラインでも行けますが、空港にはこのラインしかありません。（パディントン駅から特急列車もありますが、高いと思います。）
また、名前の通りピカデリーに通じているので、ウェスト・エンド（劇場街）に行くにも便利です。

⑤ ヴィクトリア駅から電車が出ています。
もしくは、コーチステーションからのバス。
もしくは、前述のツアーを利用するか。
電車のチケットは色々なサイトで買えるのですが、一番簡単なのは、駅の窓口です。行きたいと思いたった日（晴れていた方がいいでしょう？）に駅へ行けば、オッケーです。

すごいですねっ！チケット手に入れたんですね！！
タクシーが一番簡単と思いますが、ふっかけられるかも。（イギリス人、基本的にはいい人ですが）
一応直近の地下鉄駅はHounslow Eastだとのこと。ピカデリー・ラインなので、空港からそのまま行けますが、荷物を持っての移動は大変かもしれません。

ホテル付の航空券もしくは、航空券とホテルを組み合わせて買った方が安く上がります。
その場合、ホテルはたいていロンドンから西の方にあるものが設定されてしまうので、
ホテルを選べる場合は、多少値段が上がってもロンドン中央もしくは東側にあるホテルを選択することを、お勧めします。
O2はロンドンの東の端です。
旅行会社のツアーを利用せずに、ご自分で航空券を手配する場合、KLMにすれば、London City空港が選べるので、
それは、それで便利です。
KLMのサイトで一緒にホテルも選べるでしょうから、
そこにお勧めされているCity空港近辺のホテルにすれば、O2が近いです。

その日の担当者によります。
わたしは、BAヨーロッパ・国内線で手荷物のサイズをチェックされたことはありません。
ですが、それは、ケースが規定のサイズに収まっていたからかもしれませんし、
ただ単に係員が無関心だっただけかもしれません。
ここにあげてあるスーツケースは、明らかに規定サイズをオーバーしていますので、
たぶん、ひっかかります。
注意していただきたいのは、国内線の機体は、ものすごく小さいということです。
その機体を考えてサイズが決められているということです。
そのサイズでは、頭上の手荷物入れには入りません。
預け入れ荷物にすることとなります。
どの国に行くにしても、国内旅行をお考えの場合には、
大きめのリュックを併せて持っていくことをお勧めいたします。
オーバーサイズ・重量の荷物に過大なペナルティをかける、
バジェット・エアラインもあることですし。

ご自分で購入して自宅へ発送してもらったらいいのでは？