こんにちは、私が考え付く限りお答えさせて頂きます。

① 基本はそれぞれの銀行のポリシー次第ですが、殆どの場合、自社口座保有者の便宜を最優先させますので、口座保持者以外の両替は受け付けない所が殆どです。
私ならば、多分アパートの管理事務所がランドリーの集金もしているはずですので、そこで両替できるかどうか聞いてみます。

①Citibank 振り出しのチェックならば、Citibank に行けば、本人確認の上、当日キャッシュアウト可能なはずですが、他行では換金に時間が掛かる事もあり、口座保持者以外の他行チェックのキャッシュアウトは基本不可能なはずです。

緊急の解決策としては、知り合いの銀行口座に入金してもらう事です。その場合、裏書きのサインの下に「Pay To （名前）」（誰に支払う）と記入して、その下に友人がサインすれば、友人の口座に入金可能です。

DCにようこそ。

1) 自宅にケーブルを引くなら、電話の Verizon とか 地域のケーブルテレビと契約すれば、最初の数年は安い料金で契約できるオプションがありますが、余りテレビとかを見ないのでしたら、AT&T 等のアイフォーンを契約して、ワイヤレスWifi をPCとシェアするのも手ではないでしょうか。

2) 銀行は無数にありますので、どれが一番良いかは一概に言えませんが、自宅か勤務先から徒歩圏内に支店がある銀行をお勧めします。銀行口座も、最低平均預金残高が500ドルとか2000ドル未満だと月の手数料が掛かる物、或いは全く手数料が掛からない物などいろいろあります。
銀行口座開設に当たっては、住所と滞在資格を証明出来る書類など必要になって来ますので、こちらに来られてからお近くの銀行の資料を取り寄せてご検討されたら宜しいと思います。

他にご質問があれば、お気軽にご連絡下さい。
素晴らしいご滞在となられます事を願っております。

状況を察する限り、恐らく遺失物として空港警察が保管している物と思われますが、
受け取り代理人としてスムーズに手続きが通るのか、詳しい情報がありませんので何とも言えません。
その後の発送に関しても国際貨物として税関書類などの用意もあり、かなりの手数料が掛かると思います。単純にUPSの料金を調べた所、恐らく配送料金だけでも300～400ドル程度は掛かると思われます。

現時点では詳しい情報がありませんので何とも言えませんが、お調べしてみる事は可能と思います。もし必要であれば、ご連絡下さい。

https://traveloco.jp/mypage/orders/new?loco=johnkondo&pokey=f8f78820

大抵のレストランはお子様連れで問題ないですが、
一件挙げるとすればこんな所です。

こだわりのハンバーガーレストラン
Ollie's Trolley
425 12th St NW, Washington, DC 20004
olliestrolleydc.com

後は、イタリアン、中華、各国の料理、様々です、
お泊りのホテルのロビーに、周辺のレストランの一覧がありますので、
ホテルに聞いてみるのも一案と思います。
ホテルから予約を入れて貰う事も出来ますので、その時にお子様連れで問題ないか聞いてもらうのも一案と思います。

https://traveloco.jp/mypage/orders/new?loco=johnkondo&pokey=f8f78820

ワシントン市内に大型量販店は少ないですが、
ウォルマートはユニオン駅の西側、Ｈストリートに１件あります。
Walmart
99 H St NW, Washington, DC 20001

ターゲットは、コロンビアハイツと呼ばれる、ワシントン北西のかなり外れの、
動物園の近くにあります。
Target
3100 14th St NW Ste 201, Washington, DC 20010

どの様なお土産をお探しか分かりませんが、
安いチョコレートの様な物をお探しならウォルマートなど、
少し変わったご当地のお土産をお探しならば、ホワイトハウスの近くの
ホワイトハウスギフトショップなどお勧めです。
White House Gifts
701 15th St NW, Washington, DC 20005

あとは、スミソニアン博物館の内部にはテーマにちなんだグッズがそろっています。
ホテルから歩いて行けるかどうかは、グーグルマップなどで場所を確認されたら宜しいと思います。

ワシントン市内の移動だけならば、レンタカーは必要ないと思います。
地下鉄、タクシーでの移動をお勧めします。

https://traveloco.jp/mypage/orders/new?loco=johnkondo&pokey=f8f78820

一般車でのチャイルドシートは必項ですが、公共交通機関（バス、タクシー）は除外です。
タクシーのシートベルトを使う様にとの事です。
https://www.tripadvisor.com/ShowTopic-g28970-i40-k2673368-Carseat_in_Taxi-Washington_DC_District_of_Columbia.html

わざわざ日本から持参されなくとも問題はないと思いますが、
一般車に乗車される予定がおありでしたら、何処かで調達する必要はあると思います。

https://traveloco.jp/mypage/orders/new?loco=johnkondo&pokey=f8f78820

すみません、写真とは関係ないのですが、少しだけ気になったので書かせていただきます。
観光ビザ又は９０日のパイロットビザで入国されるのであれば、入国審査の際に、彼女にプロポーズしに来たとは絶対言わないで下さいね。ビザの入国目的とは違いますので、トラブルになる可能性大です。不法滞在を疑われ、下手をすれば入国拒否される場合もありますので、お気を付け下さい。無事に彼女と再会出来ます事をお祈りしております。

海軍士官学校音楽隊のイベントカレンダーをチェックしてみましたが、
冬場は殆ど大したイベントはないですね。
https://www.usna.edu/USNABand/events.php

今年の卒業式が、5月18日に予定されており、その週は様々なイベントが予定されています。
Commissioning Week 2018 is scheduled for 18-25 May 2018.
https://www.usna.edu/CommissioningWeek/
スケジュール表
https://www.usna.edu/CommissioningWeek/CW2018TentativeScheduleforCWWebsite.pdf
卒業式の翌日は、卒業生と家族の為のイベントが予定されており、その時に音楽隊の演奏があったのを覚えています。

通常、平日の昼12時から学生の点呼があり、その時に短いですがバンドの演奏もありますので、士官学校の雰囲気を味わえます。

夏休みに入りますと、学生は実家に帰るか遠洋航海に出かけますので、イベントは殆ど無くなります。

海軍士官学校の訪問を希望されるのでしたら、春頃をお勧めします。
なお、入場の際には、身分証（パスポート）の携帯をお忘れなく。

以下、箇条書きにて失礼します。
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FBI ツアーは、少人数の場合は国会議員の紹介が必要との事。
個人ではほぼ無理だと思います。
https://www.fbi.gov/contact-us/fbi-headquarters/the-fbi-experience
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ペンタゴンのツアーは、2週間以上前に予約が必要。
入場の際には、身分証2点が必要（パスポートなど写真入り1点、クレジットカードなど写真無し1点）https://pentagontours.osd.mil/Tours/
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B29のあるスミソニアン新館だけを見に行くのなら、日帰りでも何とかいけるかなと思いますが、他のツアーなどと一緒に考えておられるのでしたら、移動距離があるので日帰りはキツイと思いますよ。

あくまで私の経験ですけど、入国自動化ゲートはありますよ。私はグリーンカードを持っていて、そこのゲート出てプロセスしましたがうまくいかなかったので、結局、有人の係官がいるブースに通されました。入国の条件さえ満たされていれば、あまり心配される必要は無いと思います。