バンコクに日本人専用介護施設はないと思います。

バンコク病院のレヌー医師が運営している「エルダリー・ケア・ナーシング・ホーム（Elderly Care Nursing home）」は日本人を受け入れていると聞いてます。
これはレヌー医師が日本の大学で医師免許を取っているため日本人受け入れが可能となっているようです。

これと日本の「リエイ」が2016年1月からバンコクで老人ホームを始めたので、そちらに聞いてみてはいかがでしょうか？
http://www.riei-thai.com/index/

到着する時間が書かれていないのですが、深夜早朝を除き、空港でポケットWi-Fiレンタルできます。

スワナプーム空港で借りれます。
地下にあるエアポートレールリンクの切符売り場左手だったと記憶しています。