お嬢様は既に留学中との事ですが、今のお住まいはどうされたのでしょうか？ 一般的に学生が住むような物件でも、そんなに前もって契約できるような物件は少ないですね。9月からお住まいと言う事であれば、5月辺りでも早い方ではないでしょうか…。知り合いの学生の人が9月に出るのが決まっていて、そこを9月から引き継ぐと言うのであれば可能です。お二人で共同でお住まいになられる場合は、片方が出て行ってしまった場合に残された方が全て責任を持てるかと言うのが問題になったりします。共同責任と言う事であれば、もし、片方が出る事になった場合、残された方が全ての責任を持つか、出ていく人が次のテナントを探してから出ていくか、契約書の最後まで共同責任を持つかと言う事になりますね。英国人の保証人がいる方が借り易いですが、必ず必要と言う訳でもありません。保証人を立てる代わりに契約期間の家賃を前払いする方法もあります。

一旦6ヶ月間の観光ビザで英国に入国して、その6ヶ月間以内に再入国の場合は、最初の6ヶ月間の再使用となります。つまり、合計で6ヶ月間しか英国にいられないと言う事です。
日本への往復チケットは必須です。無いと英国に再入国させて貰えません。
最初の入国はシェンゲンへのチケットが6ヶ月間以内のチケットであれば、6ヶ月間以内の出国と言う事で入国が許可される可能性はありますが、再入国の際は、合計6ヶ月間以内に出国するエビデンスが必要です。
日本の英国大使館であれば、日本語対応をしていると思いますよ。

どちらも地下鉄で移動されれば便利な場所です。ただ、キングスクロス周辺は既に新開発が整っておりますが、パディントン周辺は、まだ開発中で終わっていません。
キングスクロス周辺だと、歩くのが気にならない方なら、コベントガーデンやウエストエンドまで歩いて行ける距離です。
よって、キングスクロス周辺をお勧めします。

移動の時間帯や曜日によって所要時間は大きく変化します。それと、タクシー会社とありますが、ブラックキャブでしょうか、それともミニキャブでしょうか？ Uberは、とても便利ですがアカウントを持っている必要があります。