土地勘がないとのことでしたので、ホテルと同じ通りで検索してみました。
二件ともレビューもかなりあったので、良かったら見てみてください!
[네이버 지도]
글램뷰티
대구 중구 동성로1길 25
https://naver.me/GkJNnk4E

[네이버 지도]
민뷰티샵
대구 중구 동성로1길 72
https://naver.me/5Yw5jGak

こんにちは!どのようなプレゼントでしょうか?
EMSでの発送可能です!

http://www.grandculture.net/daegu/toc/GC40000465

東雲町は現在の名称で東仁洞三街(동인동3가)辺りにあたるようです。
番地までは分からなかったのですが、管轄の区庁が近いのでそこで聞けば分かるかもしれません。
大邱の市内(一番栄えている区)の一角で、当時の日本人も多く日本式の建物など一部現存しているエリアです。
お役に立てましたら幸いです。

ティニピンは韓国で人気があるのでどこの大型スーパーに行っても取り扱いがあると思うのですが、空港からタクシーで行きやすい大型スーパーが二件あります。

タクシーで5分以内 ホームプラス東村店
https://maps.app.goo.gl/joBAWT8yGd1Trjdz6

タクシーで10分イーマート晩村店
https://maps.app.goo.gl/7EobfTc1UAJz7ZBm7

私が分かる範囲でお答えします。
1.国際線到着ロビーにイーマート24(コンビニ)で以前は預かりをしていたみたいですが、現在は不明です。同じ階にある国際線に向かう途中に荷物預かり所が新設されました。
スーツケースは6hだと1万ウォンで預かってもらえ、余程の混雑でなければ預かってもらえると思います。

2.ウルトラライトダウンでは寒いと思います。
現地の方もダウンを着る季節になるので、コート+ウルトラライトダウン、ヒートテックやマフラー帽子など防寒具のご用意をおすすめします。

3.空港から市内繁華街(東城路)まではタクシーで30分程度、東城路から西門市場まではタクシーで10分程度です。
時間的にこの2点ならまわれそうだと思います。

4.ムンティギのお店を紹介します。空港からも割りと近いですし、西門市場と空港の間くらいに位置します。味は美味しいですが、親切ではないかもしれません。。

[네이버 지도]
송림식당
대구 동구 동부로 13-1 구두수선대10
https://naver.me/x5loy9iV

ご参考頂ければ幸いです。