うちの学校ではめっちゃ流行っますよ。

すいません。所持していません。学校でテレビが見れませんので。
ただ不確かな情報で申し訳ないですが、街のあちこちにDVDショップがあり日本のアニメもいっぱい置いてあるのを見ました。
るろうに剣心があるかどうかとタガログ語吹き替えがあるかどうかもわかりません。

確実なお答えは難しいですが、私の体験がご参考になればと思います。
もし日本からマニラまでの便がセブパシフィックの場合、その便が遅れるとマニラ-セブ便は待つ可能性があります。
フィリピンではないですが、私がドーハ経由でヨーロッパに行った際にカタール航空が遅れ、接続するカタール航空の便は待っていてくれました。
セブパシフィックの場合はわからず申し訳ございません。
私がマニラからセブに行った時は、一度も定刻通りに飛ばず、3時間以上待たされました。
国内便が遅れる前提で段取りするのは怖いですが、もし両便とも定刻に飛んでも第3ターミナルのトランジット自体はそんなに時間がかからないですから2時間あれば大丈夫だと思います。
安全めに段取りされるかダメ元で挑戦してもマニラ-セブ便は安いから買い直すという考え方もできます。フィリピンだとそういうこともあり得ます。
私がセブからマニラに帰ろうとしたら、突然その便のフライトがなくなり、振替便を翌日に取り直す羽目になりました。航空会社理由なので費用はかからなかったですが、セブパシフィックはたまにそういうことがあるそうです。元々特に国内便は無理な段取りで経費削減でもしてるのでしょう。
幸運をお祈りします。

あります。私は通学してましたし、現地には割と韓国人も多く、その人たちが通学で学んでいます。
アンヘレスにはコリアンタウンがあるくらいですから。
もともと韓国人がフィリピンを開拓して語学学校を作ってきた訳ですからね。その人たちも投資だけでなく勉強もしているのです。
私の場合は最初は寮に入りました。長期間いると通学の要領とかコネができ、2回目からは通学したという流れです。ホテル暮らしもしましたが、自由度が高いがコストが割に合わず、仲の良い先生の実家に安く泊めてもらいました。激安です。
ただ、通学の場合はエージェントはかまない為、自分で学校とやり取りです。私は当然学校スタッフと馴染みがあるので何の問題もありませんでした。

アンヘレスかバギオで買える物であれば買えます。

バギオにいい学校があります。色んな学校に行きましたが、そこはかなり英語力が伸びた実感があります。
ただし、2週間から1ヶ月程度、もしくは他の場所含め1年で海外の大学に入学するのは無理です。仮にその期間でそれなりのスコアを出せる人がいるとしましょう。そういう人は日本の学校でも英語の成績はトップクラスになっているはずです。
厳しいことを言うかも知れませんが、日本の英語初心者のレベルは世界ではとんでもなく低いです。
僕は1日13時間くらい勉強しました。合計13ヶ月学校に行きましたが大学に行けるレベルではありません。アメリカに行って愕然としました。
勉強法としてまず手始めにフィリピンのスパルタの学校でマンツーマンをやるのは効果的ではあります。もう少し現実的な計画（期間）を立てられたらいかがでしょうか。
学校は紹介できます。

①男性1名であれば、ビキニバーを含めて、とにかく現地の人と触れ合う機会が多いほど楽しめるでしょう。フィリピンと言えばなんと言っても愛嬌のある人々との触れ合いだと思うからです。綺麗な海などありますが、アクティビティはやや少なめです。サーフィンは初心者、上級者問わずやれるビーチに行けばできます。
20日間も滞在されるなら色々行けるでしょう。
②物価は当然安いです。ただ、鉄道網がマニラの一部しか発達しておらず、少しのことで交通費はそれなりにかかる可能性があります。ジプニーやバスを乗りこなせば激安です。慣れるまで目的地とか乗り場とか分かりにくくて時間をロスするでしょう。
③3000〜4000円もあればかなり選択肢は広いですね。選ぶ所を選べば1000円台で割ときれい目な所もあります。日本のきれい目で考えたらダメですが。
④航空会社の選択肢はそんなにないです。僕はいつもセブパシフィックです。マニラの第三ターミナルがアクセスがいいし、安いからです。ジェットスターだと第一ターミナルだからタクシー一択になりますからね。ボられないなら日本より安いのですが。
⑤交通費は2番で触れてしまいましたね。都市によってタクシー、トライシクル、ジプニー、バイク、バス、電車と交通インフラが違います。
マニラはバイク以外全部あります。セブはバス、電車はないですね。
僕はアンへレスとバギオとマニラが詳しいですが、アンへレスはタクシー、バイク、電車がないです。バギオはトライシクル、バイク、電車がないです。
ないものを書いて分かりにくくてごめんなさい。ジプニーやバスがクソ安くて電車は当てにしないほうが良くて、タクシーは日本より安くて、トライシクルは交渉次第です。セブのバイクは事前交渉をきっちりやらないと泣きます。
トライシクルドライバーの普段の生活を見ているから少しはお金を落としてあげたい気持ちはありますが、日本人というだけで払いすぎるのは個人的に良くないと思います。

最後にジムはAnytime ありますし、ランニングマンとか街にたまにあります。ホテルにジムがある所は知らないです。プール付きホテルもある程度ありますよ。